Espacio normado auxiliar

En análisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos con el fin de definir operadores nucleares y espacios nucleares:^[1]​

• El primero de estos métodos se utiliza si el disco ${\displaystyle D}$ está acotado. En este caso, el espacio normado auxiliar es ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$, con la norma

${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.}$

• El otro método se utiliza si el disco ${\displaystyle D}$ es absorbente. En este segundo caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente ${\displaystyle X/p_{D}^{-1}(0).}$

Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y espacios normados).

Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

En este artículo, ${\displaystyle X}$ será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y ${\displaystyle D}$ será un disco en ${\displaystyle X.}$

Espacio seminormado inducido por un disco

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle X,}$ el Funcional de Minkowski de ${\displaystyle D}$ se define por:

• Si ${\displaystyle D=\varnothing }$, entonces define ${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$ como la aplicación trivial ${\displaystyle p_{\varnothing }=0}$^[2]​ y se asumirá que ${\displaystyle \operatorname {expan} \varnothing =\{0\}.}$^{[note 1]}​
• Si ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ y si ${\displaystyle D}$ es absorbente en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$, entonces denota el funcional de Minkowski de ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ por

${\displaystyle p_{D}:\operatorname {expan} D\to [0,\infty )}$

donde para todos los ${\displaystyle x\in \operatorname {expan} D,}$ esto se define por :${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle X}$ tal que el ${\displaystyle p_{D}}$ funcional de Minkowski sea una seminorma en ${\displaystyle \operatorname {expan} D,}$ denótese por ${\displaystyle X_{D}}$

${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)}$

que se denomina seminorma inducida por ${\displaystyle D,}$ donde si ${\displaystyle p_{D}}$ es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por ${\displaystyle D.}$

Supuesto (Topología): ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {expan} D}$ está dotado de la topología de la seminorma inducida por ${\displaystyle p_{D},}$ que se denotará por ${\displaystyle \tau _{D}}$ o ${\displaystyle \tau _{p_{D}}.}$

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto ${\displaystyle D,}$ la estructura algebraica de ${\displaystyle X,}$ y la topología habitual en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (ya que ${\displaystyle p_{D}}$ se define usando solo el conjunto ${\displaystyle D}$ y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ se denomina "aplicación canónica".^[1]​

Supóngase que ${\displaystyle D}$ es un disco. Entonces, ${\textstyle \operatorname {expan} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$ para que ${\displaystyle D}$ sea absorbente en ${\displaystyle \operatorname {expan} D,}$ el sistema generador de ${\displaystyle D.}$ El conjunto ${\displaystyle \{rD:r>0\}}$ de todos los múltiplos escalares positivos de ${\displaystyle D}$ forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo ${\displaystyle \tau _{D}}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D.}$ El funcional de Minkowski del disco ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ garantiza que ${\displaystyle p_{D}}$ esté bien definido y forme una seminorma en ${\displaystyle \operatorname {expan} D.}$^[3]​ La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología ${\displaystyle \tau _{D}}$ que se definió anteriormente.

Definición de disco de Banach

Un disco acotado ${\displaystyle D}$ en un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en ${\displaystyle X.}$

Si se muestra que ${\displaystyle \left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach, entonces ${\displaystyle D}$ será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga ${\displaystyle D}$ como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional ${\displaystyle p_{D}}$ de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco ${\displaystyle D}$ y de ${\displaystyle p_{D},}$ el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que ${\displaystyle X}$ pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT ${\displaystyle X}$ sea un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT ${\displaystyle X}$ que lo contiene.

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

Teorema[4]​[5]​[1]​ Si ${\displaystyle D}$ es un disco en un espacio vectorial topológico (EVT) ${\displaystyle X,}$ entonces ${\displaystyle D}$ está acotado en ${\displaystyle X}$ si y solo si la aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ es continua.

Demostración

Si el disco ${\displaystyle D}$ está delimitado en el EVT ${\displaystyle X}$, entonces para todos los entornos ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ existe algún ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D}.}$ De ello se deduce que en este caso la topología de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es más fina que la topología subespacial que ${\displaystyle X_{D}}$ hereda de ${\displaystyle X,}$ lo que implica que la aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ es continua. Por el contrario, si ${\displaystyle X}$ tiene una topología EVT tal que ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ es continua, entonces para cada entorno ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X}$ existe algún ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D},}$ lo que demuestra que ${\displaystyle D}$ está acotado en ${\displaystyle X.}$

Hausdorffsidad

El espacio ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es de Hausdorff si y solo si ${\displaystyle p_{D}}$ es una norma, lo que ocurre si y solo si ${\displaystyle D}$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.^[6]​ En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff ${\displaystyle X}$, de modo que ${\displaystyle D}$ esté acotado en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle p_{D}}$ es una norma. Un ejemplo en el que ${\displaystyle X_{D}}$ no es de Hausdorff se obtiene dejando que ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ y dejando que ${\displaystyle D}$ sea el eje ${\displaystyle x}$.

Convergencia de redes

Supóngase que ${\displaystyle D}$ es un disco en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle X_{D}}$ es de Hausdorff y sea ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ una red en ${\displaystyle X_{D}.}$ Entonces, ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ en ${\displaystyle X_{D}}$ si y solo si existe un ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ red de números reales tal que ${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$ y ${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$ para todo ${\displaystyle i}$; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ para todo ${\displaystyle i.}$

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {expan} C\subseteq \operatorname {expan} D}$ y ${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} C,}$ se define la siguiente aplicación lineal continua:^[5]​

Si ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$ son discos en ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle C\subseteq D}$, entonces denomínese a la aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$ la "inclusión canónica" de ${\displaystyle X_{C}}$ en ${\displaystyle X_{D}.}$

En particular, la topología subespacial que ${\displaystyle \operatorname {expan} C}$ hereda de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es más débil que la topología inducida por la seminorma de ${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$.^[5]​

El disco como bola unitaria cerrada

El disco ${\displaystyle D}$ es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ si y solo si ${\displaystyle D}$ es la bola unitaria cerrada de la seminorma ${\displaystyle p_{D}}$; esto es

${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$

Si ${\displaystyle D}$ es un disco en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ y si existe una topología EVT ${\displaystyle \tau }$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ tal que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto cerrado y acotado de ${\displaystyle \left(\operatorname {expan} D,\tau \right),}$ entonces ${\displaystyle D}$ es la bola unitaria cerrada de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ (es decir, ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$) (véase nota al pie para su demostración).^{[note 2]}​

Condiciones suficientes para un disco de Banach

El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto, ${\displaystyle D}$ será un disco Banach en cualquier EVT en el que ${\displaystyle D}$ esté acotado.

Teorema[7]​ Sea ${\displaystyle D}$ un disco en un espacio vectorial ${\displaystyle X.}$ Si existe una topología EVT de Hausdorff ${\displaystyle \tau }$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ tal que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto secuencialmente completo acotado de ${\displaystyle (\operatorname {expan} D,\tau ),}$ entonces ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach.

Demostración

Supóngase sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle X=\operatorname {expan} D}$ y sea ${\displaystyle p:=p_{D}}$ el funcional de Minkowski de ${\displaystyle D.}$ Dado que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto acotado de un EVT de Hausdorff, ${\displaystyle D}$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que ${\displaystyle p}$ es una norma. Sea ${\displaystyle \tau _{D}}$ la topología de una norma en ${\displaystyle X}$ inducida por ${\displaystyle p}$ donde, dado que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto acotado de ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ es más fina que ${\displaystyle \tau .}$ Debido a que ${\displaystyle D}$ es convexo y equilibrado, para cualquier ${\displaystyle 0<m<n}$ ${\displaystyle 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{m-n}\right)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.}$ Sea ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ Al reemplazar ${\displaystyle x_{\bullet }}$ con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de generalidad† que para todo ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.}$ Esto implica que para cualquier ${\displaystyle 0<m<n,}$ ${\displaystyle x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\right)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D}$ de modo que en particular, tomando ${\displaystyle m=1}$ se deduce que ${\displaystyle x_{\bullet }}$ está contenido en ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D.}$ Dado que ${\displaystyle \tau _{D}}$ es más fina que ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ es una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle (X,\tau ).}$ Para todo ${\displaystyle m>0,}$ ${\displaystyle 2^{-(m+2)}D}$ es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de ${\displaystyle (X,\tau ).}$ En particular, esto es cierto para ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D}$, por lo que existe algún ${\displaystyle x\in x_{1}+2^{-3}D}$ tal que ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle (X,\tau ).}$ Dado que ${\displaystyle x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ para todos los ${\displaystyle 0<m<n,}$ fijando ${\displaystyle m}$ y tomando el límite (en ${\displaystyle (X,\tau )}$) como ${\displaystyle n\to \infty ,}$ se deduce que ${\displaystyle x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ para cada ${\displaystyle m>0.}$ Esto implica que ${\displaystyle p\left(x-x_{m}\right)\to 0}$ es ${\displaystyle m\to \infty ,}$ lo que implica exactamente que ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ Esto demuestra que ${\displaystyle \left(X_{D},p\right)}$ está completo. † Esta suposición está permitida porque ${\displaystyle x_{\bullet }}$ es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.

Tenga en cuenta que incluso si ${\displaystyle D}$ no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco ${\displaystyle K}$ que satisfaga

${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

porque ${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

• Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.^[5]​
• Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.^[8]​
• La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.^[5]​

Supóngase que ${\displaystyle D}$ es un disco acotado en un EVT ${\displaystyle X.}$

• Si ${\displaystyle L:X\to Y}$ es una aplicación lineal continua y ${\displaystyle B\subseteq X}$ es un disco de Banach, entonces ${\displaystyle L(B)}$ es un disco de Banach y ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$ induce un isomorfismo sobre el EVT ${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$

Propiedades de los discos de Banach

Sea ${\displaystyle X}$ un EVT y ${\displaystyle D}$ sea un disco limitado en ${\displaystyle X.}$

Si ${\displaystyle D}$ es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff ${\displaystyle X}$, y si ${\displaystyle T}$ es barrilado en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle T}$ absorbe a ${\displaystyle D}$ (es decir, hay un número ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle D\subseteq rT.}$^[4]​

Si ${\displaystyle U}$ es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en ${\displaystyle X}$, entonces la colección de todos los entornos ${\displaystyle rU,}$ donde ${\displaystyle r>0}$ abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en ${\displaystyle X.}$ Cuando ${\displaystyle X}$ tiene esta topología, se denota por ${\displaystyle X_{U}.}$ Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ se denota por ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$, de modo que ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ es un espacio de Hausdorff completo y ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$ es una norma en este espacio que convierte a ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ en un espacio de Banach. El polar de ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U^{\circ },}$ es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en ${\displaystyle X^{\prime }}$ y, por lo tanto, es infracompleto.

Si ${\displaystyle X}$ es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X,}$ existe un disco ${\displaystyle D}$ acotado en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ y tanto ${\displaystyle X}$ como ${\displaystyle X_{D}}$ inducen la misma topología del subespacio en ${\displaystyle B.}$^[5]​

Inducido por un disco radial – cociente

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico y ${\displaystyle V}$ es un conjunto convexo equilibrado y radial. Entonces, ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$ es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa ${\displaystyle \tau _{V}}$ en ${\displaystyle X.}$ Esta topología de EVT ${\displaystyle \tau _{V}}$ está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} ,}$ que es una seminorma en ${\displaystyle X}$ definida por ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.}$ La topología ${\displaystyle \tau _{V}}$ es de Hausdorff si y solo si ${\displaystyle p_{V}}$ es una norma, o equivalentemente, si y solo si ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ o equivalente, para lo cual basta que ${\displaystyle V}$ esté acotado en ${\displaystyle X.}$ La topología ${\displaystyle \tau _{V}}$ no tiene por qué ser de Hausdorff, pero ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ sí que lo es. ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ induce una norma sobre ${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),}$ donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia ${\displaystyle x+X/p_{V}^{-1}(0)}$ elegida. El espacio normado ${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)}$ se denota por ${\displaystyle X_{V}}$ y su completación se denota por ${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.}$

Si además, ${\displaystyle V}$ está acotado en ${\displaystyle X}$, entonces la seminorma ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} }$ es una norma, por lo que en particular, ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.}$ En este caso, se toma ${\displaystyle X_{V}}$ como el espacio vectorial ${\displaystyle X}$ en lugar de ${\displaystyle X/\{0\}}$, de modo que la notación ${\displaystyle X_{V}}$ no sea ambigua (si ${\displaystyle X_{V}}$ denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).^[1]​

La topología cociente ${\displaystyle \tau _{Q}}$ en ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ (heredada de la topología original de ${\displaystyle X}$) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

Aplicaciones canónicas

La aplicación canónica es la clase de equivalencia ${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$ que es continua cuando ${\displaystyle X_{V}}$ tiene la topología normal o la topología del cociente.^[1]​

Si ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son discos radiales tales como ${\displaystyle U\subseteq V}$, entonces ${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$, por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$, definida enviando ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$ a la clase de equivalencia ${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$ donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$ que se elija.^[1]​

Esta aplicación canónica tiene la norma ${\displaystyle \,\leq 1}$,^[1]​ y posee una extensión canónica lineal continua única a ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ que se denota por ${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$

Supóngase además que ${\displaystyle B\neq \varnothing }$ y ${\displaystyle C}$ son discos acotados en ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle B\subseteq C}$, de modo que ${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$ y la inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ sea una aplicación lineal continua. Sean ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$ y ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ las aplicaciones canónicas. Entonces, ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$ y ${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$^[1]​

Inducido por un disco radial acotado

Supóngase que ${\displaystyle S}$ es un disco radial acotado. Dado que ${\displaystyle S}$ es un disco acotado, si ${\displaystyle D:=S}$, entonces se puede crear el espacio normado auxiliar ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {expan} D}$ con la norma ${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r}$. Como ${\displaystyle S}$ es radial, ${\displaystyle X_{S}=X.}$ Dado que ${\displaystyle S}$ es un disco radial, si ${\displaystyle V:=S}$, entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ con la seminorma ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r}$. Debido a que ${\displaystyle S}$ está acotado, esta seminorma es una norma y ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$, por lo que entonces ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.}$ Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

Dualidad

Supongamos que ${\displaystyle H}$ es un disco equicontinuo débilmente cerrado en ${\displaystyle X^{\prime }}$ (esto implica que ${\displaystyle H}$ es débilmente compacto) y sea

${\displaystyle U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{for all }}h\in H\}}$

el polar de ${\displaystyle H.}$ Debido a que ${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$ según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo ${\displaystyle f}$ pertenece a ${\displaystyle X_{H}^{\prime }=\operatorname {expan} H}$ si y solo si ${\displaystyle f}$ pertenece al espacio dual continuo de ${\displaystyle \left(X,p_{U}\right),}$ donde ${\displaystyle p_{U}}$ es el funcional de Minkowski de ${\displaystyle U}$ definido por ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.}$^[9]​

Conceptos relacionados

Un disco en un EVT se llama infrabornivoro^[5]​ si absorbe todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotada^[5]​ si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Convergencia rápida

Se dice que una sucesión ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ en un EVT ${\displaystyle X}$ es "rápidamente convergente"^[5]​ a un punto ${\displaystyle x\in X}$ si existe un disco de Banach ${\displaystyle D}$ tal que tanto ${\displaystyle x}$ como la sucesión estén (finalmente) contenidos en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ y ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.^[5]​

Véase también

• Espacio bornológico
• Espacio localmente convexo
• Topología inicial
• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Espacio ultrabornológico

Notas

Referencias

Bibliografía

• Burzyk, Józef; Gilsdorf, Thomas E. (1995). «Some remarks about Mackey convergence». International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (Hindawi Limited) 18 (4): 659-664. ISSN 0161-1712. doi:10.1155/s0161171295000846. 
• Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited 16. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 9781470424831. OCLC 185095773. 
• Dubinsky, Ed (1979). The Structure of Nuclear Fréchet Spaces. Lecture Notes in Mathematics 720. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC 5126156. 
• Grothendieck, Alexander (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (en francés) (Providence: American Mathematical Society) 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788. 
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis. North-Holland Mathematics Studies 26. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064. OCLC 316549583. 
• Hogbe-Nlend, Henri; Moscatelli, V. B. (1981). Nuclear and Conuclear Spaces: Introductory Course on Nuclear and Conuclear Spaces in the Light of the Duality "topology-bornology". North-Holland Mathematics Studies 52. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345. 
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 66 (Second edición). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products. Lecture Notes in Mathematics 726. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158. 

Enlaces externos

• Espacio nuclear en ncatlab