Espacio ultrabornológico
En análisis funcional, un espacio vectorial topológico (EVT) se llama ultrabornológico si cada operador lineal acotado de a otro EVT es necesariamente continuo. Una versión general del teorema de la gráfica cerrada es válida para espacios ultrabornológicos. Los espacios ultrabornológicos fueron introducidos por Alexander Grothendieck (Grothendieck [1955, p. 17] "espace du type (β)").[1]
Definiciones
Sea un espacio vectorial topológico (EVT).
Preliminares
Un disco es un conjunto convexo y equilibrado. Un disco en un EVT se llama bornívoro[2] si absorbe cualquier subconjunto acotado de
Una aplicación lineal entre dos EVT se denomina[2] 'infraacotada si asigna discos de Banach a discos acotados.
Un disco en un EVT se denomina infrabornívoro si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- absorbe cada disco de Banach en
mientras que si es localmente convexo entonces podemos agregar a esta lista:
- El calibre de es una aplicación infraacotada;[2]
mientras que si es localmente convexo y de Hausdorff entonces se puede agregar a esta lista:
- absorbe todos los discos compactos;[2] es decir, es "compactivo".
Espacio ultrabornológico
Un EVT es ultrabornológico si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada disco infrabornívoro en es un entorno del origen.[2]
mientras que si es un espacio localmente convexo, entonces se puede agregar a esta lista:
- Todo operador lineal acotado desde hasta un espacio vectorial topológico metrizable completo es necesariamente continuo.
- Cada disco infrabornívoro está en un entorno de 0.
- será el límite inductivo de los espacios , ya que D varía en todos los discos compactos en .
- Una seminorma en que está acotada en cada disco de Banach es necesariamente continua.
- Para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo.
- Para cada espacio de Banach y cada aplicación lineal si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo.
mientras que si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista:
- es un límite inductivo de espacios de Banach.[2]
Propiedades
Cada espacio ultrabornológico localmente convexo es barrilado,[2] cuasi barrilado y bornológico, pero existen espacios bornológicos que no son ultrabornológicos.
- Cada espacio ultrabornológico es el límite directo de una familia de espacios de Fréchet nucleares, que abarca
- Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios DF nucleares, que abarca
Ejemplos y condiciones suficientes
El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico.[2] Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.
Todo espacio bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico.[2] Así, cada espacio bornológico de Hausdorff completo es ultrabornológico. En particular, cada espacio de Fréchet es ultrabornológico.[2]
El espacio dual fuerte de un complete espacio de Schwartz es ultrabornológico.
Todo espacio bornológico de Hausdorff que sea casi completo es ultrabornológico.
- Contraejemplos
Existen espacios ultrabarrilados que no son ultrabornológicos. Existen espacios ultrabornológicos que no son ultrabarrilados.
Véase también
- Operador lineal acotado
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Espacio bornológico
- Bornología
- Espacio localmente convexo
- Espacio de aplicaciones lineales
- Espacio vectorial topológico
- Bornología vectorial
Referencias
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, p. 441.
- ↑ a b c d e f g h i j Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-457.
Bibliografía
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- Grothendieck, Alexander (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (en francés) (Providence: American Mathematical Society) 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
- Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces (Chaljub, Orlando, trad.). New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
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- Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Enlaces externos
- Algunas caracterizaciones de espacios ultrabornológicos
Datos: Q96412187