Topología traza
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En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto a partir de la topología del espacio topológico .
Definición formal
Sean un espacio topológico y un subconjunto de . Entonces, la topología traza sobre es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica , es decir, la aplicación definida por .
Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre son las intersecciones de con los abiertos de :
- .
La topología traza se denota mediante y se dice que es un subespacio topológico del espacio . Si la aplicación es abierta, se dice que es un subespacio abierto, y que es un subespacio cerrado si es cerrada.
Propiedades
Propiedades de la topología traza sobre un subespacio :[1]
- Un conjunto es abierto en la topología si, y sólo si, existe un abierto tal que .
- Un conjunto es cerrado en la topología si, y sólo si, existe un cerrado de tal que .
- Si , entonces .
- Si es un subespacio abierto de , un conjunto es abierto en si, y sólo si, es abierto en .
- Si es un subespacio cerrado de , un conjunto es cerrado en si, y sólo si, es cerrado en .
Propiedades hereditarias
Una propiedad topológica se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple también cumplen .
Ejemplos de propiedades que son hereditarias:[2]
- Los axiomas de separación T0, T1 y T2 (Hausdorff).
- El primer y segundo axioma de numerabilidad.
- Ser metrizable.
La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.
Véase también
- Espacio topológico
- Topología
- Espacio de Hausdorff
- Conjunto abierto
- Funciones abiertas y cerradas
Bibliografía
- Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
- Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6
Referencias
Enlaces externos
- The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. (en inglés)
- Ejemplos de subespacios en Topología inducida (subespacio)
Datos: Q660730