Véase también: Conjunto polar (teoría del potencial)
En análisis funcional y de convexidad, y en otras disciplinas matemáticas relacionadas, un conjunto polar
es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto
de un espacio vectorial
que se encuentra en su espacio dual
El bipolar de un subconjunto es el polar de
pero se encuentra en
(no en
).
Definiciones
Hay al menos tres definiciones posibles de un conjunto polar, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo.[1] En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un emparejamiento de espacios vectoriales
sobre los números reales o complejos (
e
son a menudo espacios vectoriales topológicos (EVTs)).
Si
es un espacio vectorial sobre el cuerpo
, entonces, a menos que se indique lo contrario,
generalmente, pero no siempre, será algún espacio vectorial de funcionales lineales en
y el emparejamiento dual
será la aplicación de evaluación bilineal (en un punto) definida por
![{\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34984cd094b711ce202fa05c047494bf23753a10)
Si
es un espacio vectorial topológico, entonces el espacio
normalmente, aunque no siempre, será el espacio dual de
en cuyo caso el emparejamiento dual volverá a ser la aplicación de evaluación.
Denótese la bola cerrada de radio
centrada en el origen en el cuerpo escalar subyacente
de
por
![{\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cacafc8a78c52c22f6f0d97479b92977d0b1187b)
Definición analítica funcional
Polar absoluto
Supóngase que
es un emparejamiento. El polar o polar absoluto de un subconjunto
de
es el conjunto:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d833e3db4772dd8564c84f4b4782d7a4d0441c87)
donde
denota la imagen del conjunto
bajo la aplicación
definida por
Si
denota el conjunto absolutamente convexo de
que, por definición, es el subconjunto de
convexo y equilibrado más pequeño que contiene a
entonces
Esta es una transformación afín de la definición geométrica, que tiene la útil caracterización de que el polar analítico funcional de la bola unitaria (en
) es precisamente la bola unitaria (en
).
El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto
de
es el conjunto:
![{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9e08c44881794d5557c56ec84181eb0ae66dfc)
Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto
de
también se denomina polar o polar absoluto de
y se denota por
; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (de ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar".
El 'bipolar de un subconjunto
de
a menudo denotado por
es el conjunto
; eso es,
![{\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15062565178ded9b0432509b102d38d48841fc3)
Polar real
El polar real de un subconjunto
de
es el conjunto:
![{\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331673838d2f92db65fa53930a2d6a494ae4b290)
y el prepolar real de un subconjunto
de
es el conjunto:
![{\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3eccf36b148ab6a6e5fc56fd31a260f5271f31)
Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama "polar real" y también se denota por
. Es importante señalar que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación
para ello (en lugar de la notación
que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]).
El bipolar real de un subconjunto
de
denotado a veces por
es el conjunto
; que es igual al cierre
de la envolvente convexa de
Para un subconjunto
de
es convexo,
cerrado y contiene a
En general, es posible que
, pero la igualdad se mantendrá si
es equilibrado. Además,
donde
denota la envolvente equilibrada de
Definiciones posibles
La definición de "polar" de un conjunto no está universalmente aceptada. Aunque en este artículo se definió "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo un autor defina "polar", la notación
casi siempre representa su elección de la definición (por lo que el significado de la notación
puede variar de una fuente a otra). En particular, la polar de
a veces se define como:
![{\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b2a3a86fb42be905aeb4930cb0a1834d01422c)
donde la notación es
no es la notación estándar.
Ahora se discute brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.
Siempre se considera el caso de que
![{\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d153c41e09de0b4bafb9659d5117b04df4df3e)
y si
tiene un valor real (o de manera equivalente, si
e
son espacios vectoriales sobre
), entonces
Si
es un conjunto simétrico (es decir,
o equivalentemente,
), entonces
, donde si además
tiene un valor real, entonces
Si
e
son espacios vectoriales sobre
(de modo que
tiene valores complejos) y si
(donde debe tenerse en cuenta que esto implica
y
), entonces
![{\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689c888744000a2d4734a77c302cad5a7f83bfba)
donde si además
para todos los
reales, entonces
Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de
concuerden, es suficiente que
para todos los escalares
de longitud unidad[nota 1] (donde esto es equivalente a que
para todos los escalares de longitud unitaria
). En particular, todas las definiciones del polar de
coinciden cuando
es un conjunto equilibrado (que suele ser el caso, pero no siempre), por lo que a menudo cuál de estas posibles definiciones se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones del "polar" de un conjunto
a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando
no está necesariamente equilibrado.
Especialización para la dualidad canónica
Espacio dual algebraico
Si
es cualquier espacio vectorial, entonces
denota el espacio dual de
que es el conjunto de todos los funcionales lineales en
El espacio vectorial
es siempre un subconjunto cerrado del espacio
de todas las funciones valoradas en
en
bajo la topología de convergencia puntual. Entonces, cuando
está dotado de la topología subespacial,
se convierte en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo completo de Hausdorff. Para cualquier subconjunto
considérese que
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226eedef0532ab15cdecd2113f3350e38295589)
Si
son subconjuntos, entonces
y
donde
denota el conjunto absolutamente convexo de
Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita
de
denótese por
la topología euclídea en
que es la topología única que convierte a
en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff. Si
denota la unión de todas las clausuras,
ya que
varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de
entonces
(consúltese esta nota al pie[nota 2] para una explicación). Si
es un subconjunto absorbente de
, entonces, según el teorema de Banach-Alaoglu,
es un subconjunto compacto *débil de
Si
es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial
y si
es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en
(es decir, un subespacio vectorial de espacios duales de
), entonces la aplicación de valores reales
definido por ![{\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a41eb298c07aa41cf7ea6d94e63470b9b0fea33)
es una seminorma en
Si
entonces, por definición de elemento supremo e ínfimo,
de modo que la aplicación
definido anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma.
Espacio dual continuo
Supóngase que
es un espacio vectorial topológico (EVT) con espacio dual
El caso especial importante donde
y los corchetes representan la aplicación canónica:
![{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce9f9bd07f611a22c8c412018b3d8ac27d1c61b)
se considera ahora. El triplete formado por
asociado con
es el llamado emparejamiento canónico.
La polar de un subconjunto
con respecto a este emparejamiento canónico es:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ porque }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7ecf8df668c789b3975afc9a84533cd45bee6e)
Para cualquier subconjunto
donde
denota la clausura de
en
El teorema de Banach-Alaoglu establece que si
es un entorno del origen en
, entonces
y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo
cuando
está dotado de topología *débil (también conocida como topología de convergencia puntual).
Si
satisface
para todos los escalares
de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por
(el operador de parte real) de modo que:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81b61e74d09c27d6084ea8b67d99412c0ead268)
El prepolar de un subconjunto
de
es:
![{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e3551c0da2d1ddc3bad32fc74676b23f056724)
Si
satisface
para todos los escalares
de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto con
de modo que:
![{\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da285cd971d6c24034618d0f85860438a10e1b4)
donde
El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.
Si
es un espacio normado y
es la bola unitaria abierta o cerrada en
(o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta), entonces
es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo
cuando
dotado de su norma dual canónica.
Definición geométrica de los conos
El cono polar de un cono convexo
es el conjunto
![{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379329589093bf1327d50ce62d20ed8a3d857a0b)
Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiéndose estos últimos como la intersección de dos semiespacios orientados de manera opuesta. El hiperplano polar de un punto
es el lugar geométrico
. La relación dual para un hiperplano produce el punto polar de ese hiperplano.[3]
Algunos autores (confusamente) llaman a un cono dual cono polar, y en este artículo no se sigue esta convención.[4]
Propiedades
A menos que se indique lo contrario,
será un emparejamiento. La topología
es una topología *débil en
, mientras que
es una topología débil en
Para cualquier conjunto
denota el polar real de
y
denota el polar absoluto de
El término "polar" se referirá al polar absoluto.
- El polar (absoluto) de un conjunto es convexo y equilibrado.
- El polar real
de un subconjunto
de
es convexo pero no necesariamente está equilibrado;
estará equilibrado si
está equilibrado. - Si
para todos los escalares
de longitud unidad, entonces ![{\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e365f0bd7b81c5aef89f3a5f56d4f0a2171379)
es cerrado en
bajo una topología *débil en
.[3] - Un subconjunto
de
está débilmente acotado (es decir, acotado por
) si y solo si
es absorbente en
. - Para un emparejamiento dual
donde
es un EVT y
es su espacio dual continuo, si
está acotado entonces
es absorbente en
Si
es localmente convexo y
es absorbente en
, entonces
está acotado en
Además, un subconjunto
de
está débilmente acotado si y solo si
es absorbente en ![{\displaystyle X^{\prime }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980210d5ccf78c678264901dc7b0ce8a53d827bc)
- El
bipolar de un conjunto
es la envolvente convexa
de
que es el conjunto cerrado y convexo
más pequeño que contiene tanto a
como a
- De manera similar, el cono bidual de un cono
es el
cerrado de una envolvente cónica de
[7].
- Si
es una base en el origen para un EVT
, entonces
- Si
es un EVT localmente convexo, entonces las polares (tomadas con respecto a
) de cualquier base entorno de 0 forman una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de
(es decir, dado cualquier subconjunto acotado
de
existe un entorno
del origen en
tal que
). - Por el contrario, si
es un EVT localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a
) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de
forman una base en un entorno del origen en
- Sea
un EVT con una topología
Entonces,
es una topología en un EVT localmente convexa si y solo si
es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de
Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo juegan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre la topología original del espacio localmente convexo
.
Otras relaciones
y ![{\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbd8ccdfcdc044c449f490ab7de11fffff07fce)
- Para todos los escalares
y para todos los
y
reales.
Sin embargo, para el polar real se tiene que
- Para cualquier colección finita de conjuntos
:![{\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62732e11d38a034f71ab30fee11a6810f960726)
- Si
, entonces
y
- Un corolario inmediato es que
. La igualdad necesariamente se cumple cuando
es finito y puede no cumplirse si
es infinito.
y ![{\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4630398da8fc4f324e28fdfcc1c0883488ca7c00)
- Si
es un cono en
, entonces
- Si
es una familia de subconjuntos cerrados
de
que contienen
entonces el polar real de
es el recubrimiento convexo cerrado de
- Si
entonces
- Para un cono convexo
cerrado en un espacio vectorial real
el cono polar es el polar de
; es decir,
![{\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e4b4ec5e4ed072d6000235244890a914b1b8bd)
- donde
[1]
Véase también
Notas
- ↑ Dado que para que todas estas definiciones completas del conjunto polar
concuerden, si
tiene un valor real, entonces basta con que
sea simétrico, mientras que si
tiene un valor complejo, entonces basta con que
para todo
real. - ↑ Para demostrar que
sea
Si
es un subespacio vectorial de dimensión finita de
, entonces debido a que
es continuo (como ocurre con todos los funcionales lineales en un EVT de Hausdorff de dimensión finita), se deduce que
y
son un conjunto cerrado que
La unión de todos estos conjuntos es, en consecuencia, también un subconjunto de
lo que demuestra que
y, por tanto,
En general, si
es cualquier topología EVT en
, entonces
Referencias
- ↑ a b Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 edición). Springer. p. 215. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.
- ↑ a b Zălinescu, C. (2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, NJ: World Scientific. pp. 7–8. ISBN 978-9812380678.
- ↑ Rockafellar, T.R. (1970). Convex Analysis. Princeton University. pp. 121-8. ISBN 978-0-691-01586-6.
- ↑
Bibliografía
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- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I (Garling, D.J.H., trad.). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Datos: Q2101025