Wartość własna układu

Wartości własne układu – miejsca zerowe wielomianu charakterystycznego układu, czyli pierwiastki równania charakterystycznego. Wartości własne układu są zarazem wartościami własnymi macierzy układu. Tylko wśród wartości własnych mogą się znaleźć bieguny układu – bieguny transmitancji operatorowej (zob. też biegun na płaszczyźnie zespolonej), tzn. miejsca zerowe mianownika transmitancji, przy których transmitancja przestaje być określona.

Niech dana będzie transmitancja

${\displaystyle G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}}}$

i odpowiadające jej równania stanu (dla modelu ciągłego) w postaci:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),}$

gdzie:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}.}$

Macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

${\displaystyle G(s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ,}$

wówczas równanie charakterystyczne ma postać:

${\displaystyle \det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}.}$

Wartości własne układu są pierwiastkami powyższego równania charakterystycznego i zarazem wartościami własnymi macierzy układu ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ co wynika z powyższego określenia.

Ważną cechą wartości własnych macierzy jest to, że są one niezmiennicze dla klasy macierzy podobnych (cecha podobieństwa łączy np. macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ze wszystkimi macierzami typu ${\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} }$). Potwierdza to spostrzeżenie, że nieosobliwe przekształcenie współrzędnych stanu nie zmienia zasadniczych właściwości układu. Właściwości te są w istocie określone przez wartości własne, które są jednoznaczne w odróżnieniu od współrzędnych stanu i macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ układu.

Zasadnicze znaczenie ma związek wartości własnych z przebiegami dynamicznymi w układzie. Można to zauważyć rozpatrując liniowy dynamiczny układ swobodny. Macierz podstawowa rozwiązań tego układu ${\displaystyle e^{A(t-t_{0})}}$ jest transformatą odwrotną macierzy ${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}.}$ Wspólnym mianownikiem wszystkich elementów macierzy ${\displaystyle e^{A(t-t_{0})}}$ jest wyznacznik ${\displaystyle \det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ),}$ czyli wielomian charakterystyczny, który można zapisać w postaci rozłożonej na czynniki

${\displaystyle \det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=(s-s_{1})(s-s_{2})\dots (s-s_{n}).}$

Wobec tego transformata odwrotna macierzy ${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}}$ powinna zawierać wśród swoich elementów wszystkie wyrażenia o postaci ${\displaystyle e^{s_{1}t},}$ ${\displaystyle e^{s_{2}t},\dots ,}$ ${\displaystyle e^{s_{n}t}.}$ Stąd wynika wniosek ogólny: jeśli w rozwiązaniu swobodnym pojawił się wyraz ${\displaystyle e^{at}}$ (gdzie ${\displaystyle a}$ było wartością własną), to również w rozwiązaniu swobodnym układu ${\displaystyle n}$-tego rzędu pojawią się wyrażenia typu ${\displaystyle e^{s_{i}t}}$ ${\displaystyle (i=1,\dots ,n)}$ przy czym ${\displaystyle s_{i}}$ są wartościami własnymi.

W kontekście równań stanu wartości własne (ściślej wartości własne macierzy układu) bywają też nazywane modami (ang. mode). Przy realizacji układu z macierzą diagonalną (zob. macierz układu w postaci diagonalnej), jeśli bieguny układu są rzeczywiste i pojedyncze, to znajdują się one na przekątnej macierzy układu. Każde z równań w takim układzie (odpowiadające wartości własnej leżącej na przekątnej macierzy układu) reprezentuje inną zmienną stanu (inną składową wektora stanu) i osobny sposób zachowania (ang. mode of behaviour). Stąd też utożsamienie wartości własnych (biegunów) z modami układu. Istotnie przez mod rozumie się wówczas składową obecną w przebiegu czasowym związaną z danym biegunem układu. O ile bieguny obrazują zachowanie układu w dziedzinie s, to mody związane są z charakterystykami czasowymi układu (charakterystykami obrazującymi zachowanie układu w dziedzinie czasu).

Innymi słowy: odpowiedź swobodna ${\displaystyle x(t)=e^{A(t)}x_{0}}$ układu dynamicznego jest zależna przede wszystkim od wartości własnych macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ Każda ze składowych tej odpowiedzi może być bowiem wyrażona przez kombinację liniową (sumę) składników o postaci typu ${\displaystyle e^{\lambda t}}$ (a w przypadku wartości własnych zespolonych także typu ${\displaystyle e^{\sigma t}\sin \omega t}$ i ${\displaystyle e^{\sigma t}\cos \omega t,}$ gdzie ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \omega }$ odpowiadają określonym składowym zespolonych wartości własnych – rzeczywistym i urojonym) mnożonych ewentualnie przez ${\displaystyle t}$ w odpowiedniej potędze. Przyjęło się nazywać wartości własne biegunami układu opisanego jednorodnym równaniem stanu, zaś wyżej wymienione eksponencjalne i harmoniczne składniki tej odpowiedzi modami tego układu.

Aby zmienić sposób zachowania układu można stłumić niektóre mody, co odpowiada właściwej selekcji modu i właściwej zmianie położenia odpowiadającego mu bieguna. Stosuje się wówczas przesuwanie biegunów zwane też sterowaniem modalnym. Przesuwanie biegunów to jedna z fundamentalnych technik projektowania układów regulacji. Całkowite stłumienie modu polega na „skasowaniu” odpowiedniego czynnika w mianowniku transmitancji układu (czyli bieguna układu) przez odpowiedni czynnik w liczniku transmitancji układu (czyli przez zero układu). Z uwagi na problemy ze stabilnością w przypadku niedokładnego „kasowania”, działanie takie jest odpowiednie tylko w przypadku biegunów leżących w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny S.

• równanie charakterystyczne
• twierdzenie Cayleya-Hamiltona
• wartość własna
• wielomian charakterystyczny układu