Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne – termin używany w teorii równań różniczkowych oraz w teorii sterowania.

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu ${\displaystyle n}$-tego o stałych współczynnikach ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{0}:}$

${\displaystyle a_{n}x^{(n)}+a_{(n-1)}x^{(n-1)}+\ldots +a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0,}$

w którym ${\displaystyle x^{(i)}}$ oznacza ${\displaystyle i}$-tą pochodną funkcji ${\displaystyle x(t)}$ po zmiennej ${\displaystyle t;i=1,\dots ,n-1,n.}$

Zgodnie z metodą podaną przez Eulera poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci ${\displaystyle e^{rt},}$ gdzie ${\displaystyle r}$ jest pewną stałą. Podstawiając to rozwiązanie do danego równania różniczkowego otrzymuje się równanie

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}=0,}$

które nazywa się równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

${\displaystyle x^{(5)}+x^{(4)}-4x^{(3)}-16x''-20x'-12x=0}$

ma równanie charakterystyczne

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

Równanie to sprowadza się do postaci iloczynowej

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0}$

Stąd otrzymuje się rozwiązania: jeden

ma rozwiąz:jedynczy, rzeczywisty z${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}}$lżne od warunków początkowych.

W teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie zespolonej S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

${\displaystyle G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

to równanie charakterystyczne^[1]układu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}=0.}$

• Wielomian charakterystyczny układu (w teorii sterowania)