Wielomian charakterystyczny układu

Niech dana będzie transmitancja

G ( s ) = b n s m + … + b 1 s + b 0 s n + a n − 1 s n − 1 + … + a 1 s + a 0 {\displaystyle G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}}}

i odpowiadające jej równania stanu (dla modelu ciągłego) w postaci:

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) , {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),}

gdzie:

x ˙ ( t ) = d x ( t ) d t . {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}.}

Macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D . {\displaystyle G(s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .}

Jeśli transmitancja ma mieć postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s , {\displaystyle s,} to, po pierwsze współczynnik D {\displaystyle D} różny od zera można otrzymać przez podzielenie wielomianów licznika i mianownika, wyłącznie przy równych stopniach tych wielomianów. Po wyłączeniu składnika D {\displaystyle D} (reprezentującego statyczną relację między wejściem a wyjściem) pozostaje część dynamiczna, w której podstawową rolę pełni człon ( s I − A ) − 1 . {\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}.} Jest to macierz o wymiarach n × n , {\displaystyle n\times n,} której wszystkie elementy są dzielone przez wyznacznik det ( s I − A ) . {\displaystyle \det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ).}

Wyznacznik macierzy ( s I − A ) {\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )} jest wielomianem stopnia n , {\displaystyle n,} który identyfikujemy z wielomianem stopnia n {\displaystyle n} występującym w mianowniku transmitancji G ( s ) . {\displaystyle G(s).} Jest to właśnie wielomian charakterystyczny układu, a zarazem wielomian charakterystyczny macierzy A . {\displaystyle \mathbf {A} .} Stopień wielomianu charakterystycznego równy n {\displaystyle n} jest równy rzędowi układu dynamicznego. Tak więc macierz A {\displaystyle \mathbf {A} } i wielomian charakterystyczny pełnią najważniejszą rolę przy określaniu właściwości dynamicznych układu. Od współczynników B {\displaystyle \mathbf {B} } i C {\displaystyle \mathbf {C} } zależy postać transmitancji, zwłaszcza jej licznika, nie mają one natomiast wpływu na wielomian charakterystyczny.

Zobacz też