Krzywa stożkowa
![Diagram przedstawiający krzywe stożkowe](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Conic_Sections.svg/langpl-220px-Conic_Sections.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Krzywe_sto%C5%BCkowe.svg/220px-Krzywe_sto%C5%BCkowe.svg.png)
Krzywa stożkowa – zbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg[1]. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych i
Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.
Rys historyczny
Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.
Rodzaje krzywych stożkowych
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Eccentricity.svg/220px-Eccentricity.svg.png)
Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:
- W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
- Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
- Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
- Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
- Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych[2], będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.
Równanie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Elps-slr.svg/220px-Elps-slr.svg.png)
Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:
gdzie:
- – współrzędne punktu;
- – mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:
- – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka; parametr jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum[3].
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło krzywa stożkowa w Wikisłowniku |
Przypisy
- ↑ Stożkowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
- ↑ a b stożka przekroje, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19] .
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Semilatus Rectum, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-07-05] (ang.).
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Conic Section, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Conic sections (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- p
- d
- e
pojęcia definiujące | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
typy | |||||||
pojęcia podstawowe | |||||||
opis algebraiczny |
| ||||||
opis parametryczny |
| ||||||
występowanie |
| ||||||
powiązane powierzchnie |
| ||||||
nawiązujące pojęcia |
| ||||||
uogólnienia | |||||||
badacze |
- p
- d
- e
algebraiczne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
przestępne |
| ||||||
krzywe tworzące wykresy |
| ||||||
powiązane tematy |
- PWN: 3980141
- Britannica: topic/conic-section
- Universalis: coniques
- SNL: kjeglesnitt