中点三角形

中点三角形（ちゅうてんさんかくけい、英:medial triangle, midpoint triangle）または補三角形^[1]、中三角形^[2]は、三角形の3辺の中点を頂点とする三角形である。

性質

中点三角形の3辺の長さは元の三角形の半分である。これは中点連結定理から容易に導かれる。これより、中点三角形と元の三角形は相似であり、その比は 1:2 であることが分かる。また、相似の中心は重心（2つの三角形の重心は一致する）である。

元の三角形に対する中点三角形のように、重心を中心に-1/2拡大した図形を、元の図形の「Complement」と言う。以下の表もComplementの一例である^[3]。

元の三角形との対応関係

中点三角形	元の三角形
頂点	辺の中点
重心	重心
内心	シュピーカー点
外心	九点円の中心
垂心	外心
ジェルゴンヌ点	ミッテンプンクト
ナーゲル点	内心
ド・ロンシャン点	垂心
第三ブロカール点	ブロカール中点
オイラー線	オイラー線
外接円	九点円
内接円	シュピーカー円
シュタイナーの外接楕円	シュタイナーの内接楕円

座標

重心座標系で、中点三角形は以下の式で表される^[4]。

${\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{bmatrix}}$

逆補三角形

逆補三角形^[1]（Anticomplementary triangle^[5]）または反中点三角形^[6]とは三角形ABCを中点三角形とする三角形である。元の三角形、中点三角形と相似である。英名の「Anticomplementary」は、逆補三角形の頂点が元の三角形のAnticomplement、重心を中心に-2倍に拡大した点であること（2:1の反転^[7]）に由来する^[8]。

逆補三角形は重心座標で以下の式で表される。

${\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\\\end{bmatrix}}$

脚注

^ ^a ^b 『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂書店、1913年、538頁。doi:10.11501/930885。
^ 『英和数学新字典』開新堂、1902年、184,311頁。doi:10.11501/826188。
^ Weisstein, Eric W.. “Complement” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月30日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Medial Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月13日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Anticomplementary Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月13日閲覧。
^ “三角形の心”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp. 2024年7月13日閲覧。
^ 一松, 信編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、20頁。ISBN 978-4-7687-0437-0。
^ Weisstein, Eric W.. “Anticomplement” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月30日閲覧。