ブロカール点

三角形のブロカール点

ブロカール点(ブロカールてん、Brocard point)は、幾何学用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の三角形においてひとつずつ存在する。

1875年に論文を発表したフランスの軍人アンリ・ブロカール (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

第一ブロカール点(1st Brocard point)
△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。
第二ブロカール点(2nd Brocard point)
△ABCの内部の点Ω'において、∠Ω'AC=∠Ω'CB=∠Ω'BA=ωを満たす点のこと。
それぞれの三線座標は以下の様に与えられる[1]
c b : a c : b a ,   b c : c a : a b {\displaystyle {\frac {c}{b}}:{\frac {a}{c}}:{\frac {b}{a}},\ {\frac {b}{c}}:{\frac {c}{a}}:{\frac {a}{b}}}

ブロカール角

定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。

  • cot ω = cot α + cot β + cot γ {\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma }
  • tan ω = 4 S a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \tan \omega ={\frac {4S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
  • sin ω = 2 S b 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 {\displaystyle \sin \omega ={\frac {2S}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}}
  • ω 30 o {\displaystyle \omega \leq 30^{o}}

その他の性質

関連する点

2つのブロカール点の中点をブロカール中点という。この点は外心類似重心を結ぶ直線(ブロカール軸)上にある。ブロカール中点X(39)の三線座標は以下の様に与えられる[2]

a ( b 2 + c 2 ) : b ( c 2 + a 2 ) : c ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2})}

ΩB と Ω'C の交点を A'、ΩC と Ω'A の交点を B'、ΩA と Ω'B の交点を C' としたとき、AA',BB',CC' は1点で交わる。この点を第三ブロカール点という。この点は類似重心の等長共役点であり、キーペルト双曲線上にある。第三ブロカール点X(76)の三線座標は以下の様に与えられる[2]

1 a 3 : 1 b 3 : 1 c 3 {\displaystyle {\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}}

四角形におけるブロカール点

F.G.W.Brown は1917年の Math Gazette において、四角形のブロカール点について記述している[3]

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

脚注

  1. ^ Weisstein, Eric W.. “Brocard Points” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
  2. ^ a b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。
  3. ^ 1910年代の目次

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Brocard Points". mathworld.wolfram.com (英語).


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