シュピーカー円
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Spieker_circle.svg/220px-Spieker_circle.svg.png)
幾何学において、シュピーカー円(シュピーカーえん、英: Spieker circle)は中点三角形の内接円を指す用語。19世紀のドイツの幾何学者、テオドール・シュピーカー(英語版)に因み名づけられた[1]。シュピーカー円の中心はシュピーカー点と呼ばれる三角形の辺に対する重心である[1]。シュピーカー点は各辺の中点を通り周長を二等分する中分線(英語版)と呼ばれる直線の交点でもある[1]。
歴史
シュピーカー円、シュピーカー点はポツダム大学の数学教授のテオドール・シュピーカー(英語版)の名を冠している。彼は1862年、平面幾何学に関する書籍「Lehrbuch der ebenen geometrie mit übungsaufgaben für höhere lehranstalten」を出版した。この本はアインシュタインを含む当時の科学者、数学者に大きな影響を与えた[1]。
作図
シュピーカー円は中点三角形の内接円として定義される。そのため作図にはまず三角形の辺の中点を見つける必要がある[1]。次に、中点同士をつなげる直線を描き、その直線が成す三角形(中点三角形)の内接円を作る。この円がシュピーカー円である。
ナーゲル点
シュピーカー円はナーゲル点ともいくつかの関係を持つ。 ナーゲル点と内心は常にシュピーカー円の中にある。またシュピーカー円の中心とその2点は共線である。この線はナーゲル線と呼ばれ、三角形の幾何中心もまた、ナーゲル線上にある。
九点円とオイラー線
ジュリアン・クーリッジ(英語版)は九点円とシュピーカー円に類似点を見出した。彼は著作内でシュピーカー円を"P circle" と表現している[2]。九点円とオイラー線、シュピーカー円とナーゲル線は双対ではないものの双対の様な共通点がある[1]。例えば九点円は中点三角形に外接し、シュピーカー円は中点三角形に内接しているという点が挙げられる[2]。他にはナーゲル点と垂心にも共通点が見られる。元の三角形の頂点からナーゲル点、垂心に引いた直線は、それぞれ九点円と元の三角形の辺の交点の一方、シュピーカー円と中点三角形の辺の接点を通る[2]。
シュピーカー円錐曲線
九点円とオイラー線が九点円錐曲線に一般化されるように、シュピーカー円もシュピーカー円錐曲線(Spieker conic)に一般化される[1]。△ABCの中点三角形を△A'B'C' 、△A'B'C' の辺の中点をそれぞれA2,B2,C2とする。また、任意の点Nについて、AN,BN,CNとB'C',C'A',A'B'の交点をそれぞれP,Q,Rとする。A'Nの中点とA2を結ぶ線分の中点、B'Nの中点とB2を結ぶ線分の中点、C'Nの中点とC2を結ぶ線分の中点はすべて一致する[3]。この点をSとして、P,Q,RをSで鏡映する。P,Q,Rとこれらの鏡映点延べ6点を通る円錐曲線は中点三角形△A'B'C'に接する。この円錐曲線をシュピーカー円錐曲線という。円錐曲線の中心はSである。さらに、N,Sと三角形の重心Gは共線でNS:GS = 3:1が従う。Nをナーゲル点とするとシュピーカー円になる。この定理はVilliersによって2006年に証明された[1]。
シュピーカー根円
中点三角形の3つの傍心の根円(英語版)をSpieker radical circleという[4]。中心はシュピーカー点である[5][6]。また、基準三角形の3つの傍心の根円(Excircles Radical Circle)の中心もシュピーカー点である。
出典
- ^ a b c d e f g h de Villiers, Michael (June 2006). “A generalisation of the Spieker circle and Nagel line”. Pythagoras 63: 30–37. https://dynamicmathematicslearning.com/spiekernagel.pdf.
- ^ a b c Coolidge, Julian L.『A treatise on the circle and the sphere』Oxford University Press、1916年、53–57頁。https://archive.org/details/treatiseonthecir033247mbp/page/n7/mode/2up。
- ^ de Villiers (2007年). “Spieker Conic and generalization of Nagle line”. Dynamic Mathematics Learning. 2024年7月12日閲覧。
- ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年7月12日閲覧。
- ^ Weisstein. “Excircles Radical Circle”. MathWorld- A Wolfram Web Resource. 2024年7月12日閲覧。
- ^ Weisstein. “Radical Circle”. MathWorld- A Wolfram Web Resource. 2024年7月12日閲覧。
- Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Boston: Houghton Mifflin Dover reprint, 1960.
- Kimberling, Clark (1998). “Triangle centers and central triangles”. Congressus Numerantium 129: i-xxv, 1–295.
外部リンク
- Spieker Conic and generalization of Nagel line at Dynamic Geometry Sketches Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.