Szupertökéletes számok

A számelmélet területén egy szupertökéletes szám olyan pozitív egész n szám, amire igaz a következő:

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. A szupertökéletes számok a tökéletes számok fogalmának általánosítása. A kifejezést Suryanarayana alkotta 1969-ben.^[1]

Az első néhány szupertökéletes szám:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, ... (A019279 sorozat az OEIS-ben).

Ha n páros szupertökéletes szám, akkor n szükségképpen kettőhatvány, 2^k, méghozzá úgy, hogy 2^k+1−1 Mersenne-prím.^[1][2]

Nem tudni, léteznek-e a páratlan szupertökéletes számok. Egy páratlan szupertökéletes n-nek olyan négyzetszámnak kellene lennie, amire n vagy σ(n) legalább három különböző prímszámmal osztható.^[2] Biztosan nincsenek páratlan szupertökéletes számok 7·10²⁴ alatt.^[1]

Általánosítások

A tökéletes és a szupertökéletes számok a tágabb értelemben vett m-szupertökéletes számok alesetei, melyek kielégítik a

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n}$

egyenletet m=1-re, illetve 2-re. Az m ≥ 3 esetre nem léteznek páros m-szupertökéletes számok.^[1]

Az m-szupertökéletes számok továbbá alesetei az (m,k)-tökéletes számoknak, melyek a^[3]

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn\,.}$

egyenletet elégítik ki. Ezt a jelölési módot használva a tökéletes számok (1,2)-tökéletesek, a többszörösen tökéletes számok (1,k)-tökéletesek, a szupertökéletes számok (2,2)-tökéletesek és az m-szupertökéletes számok (m,2)-tökéletesek.^[4] Példák különböző (m,k)-tökéletes számokra:

m	k	(m,k)-tökéletes számok	OEIS sorozat
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144	A019279
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	bármennyi	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	bármennyi	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

Jegyzetek

Források