Oktaéderszámok

A számelméletben az oktaéderszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló oktaéderekben részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik oktaéderszám ${\displaystyle O_{n}}$ a következő képlettel állítható elő:^[1]

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

Az első néhány oktaéderszám:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (A005900 sorozat az OEIS-ben).

Tulajdonságai, alkalmazásai

Az oktaéderszámok generátorfüggvénye:

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

Sir Frederick Pollock (wd) 1850-es sejtése szerint bármely szám felírható legfeljebb 7 oktaéderszám összegeként.^[2]

Kapcsolat más figurális számokkal

Négyzetes piramisszámok

A gömbök oktaéderes pakolása felosztható két négyzetes piramissá, az egyik fejjel lefelé a másik alatt, négyzet keresztmetszettel elválasztva. Ezért az n-edik oktaéderszám ${\displaystyle O_{n}}$ megkapható két egymást követő négyzetes piramisszám összeadásával:^[1]

${\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}$

Tetraéderszámok

Ha ${\displaystyle O_{n}}$ az n-edik oktaéderszám és ${\displaystyle T_{n}}$ az n-edik tetraéderszám, akkor

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

Ez azt a matematikai tényt fejezi ki, hogy egy oktaéder négy, nem egymás melletti lapjához tetraédert ragasztva kétszeres méretű tetraédert kapunk. Egy másik lehetőség, hogy egy oktaéder felosztható négy tetraéderre oly módon, hogy mindegyiknek két összeérő lapja van:

${\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}$

Középpontos négyzetszámok

Két egymást követő oktaéderszám különbsége középpontos négyzetszám:^[1]

${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

Ezért az oktaéderszámok kifejezik a középpontos négyzetek egymásra helyezésével kapott négyzetes piramis pontjainak számát is; ami miatt 1575-ös könyvében, az Arithmeticorum libri duo-ban Francesco Maurolico "pyramides quadratae secundae"-nek nevezte ezeket a számokat.^[3]

Kapcsolódó szócikkek

• Középpontos oktaéderszám

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Octahedral number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

További információk

• Weisstein, Eric W.: Octahedral Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld