E (constante matemática)
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O número e é uma constante matemática, aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos logaritmos naturais. É o limite de (1 + 1/n)n quando n se aproxima de infinito, uma expressão que provem da computação dos juros compostos. É o valor da função exponencial (natural), usualmente denotada ex, quando avaliada em x = 1. Também pode ser calculado como soma de uma série infinita como Há diversas outras caracterizações (veja § Definições e § Representações).
O número e também é chamado de número de Euler (não confundir com a constante de Euler ) — nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler — ou constante de Neper — em homenagem a John Napier.[1][2] A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.[3][4]
O número e é de grande importância na matemática,[5] junto de 0, 1, π, e i. Todos os cinco aparecem numa formulação da identidade de Euler e têm papéis importantes e recorrentes na matemática.[6][7] Semelhante à constante π, e é irracional (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e transcendente (não é uma raiz de nenhuma função polinomial com coeficientes racionais).[2] Com 50 casas após a vírgula, o valor de e é:[8]
Definições
O número e é o limite uma expressão que provém da computação dos juros compostos.[9]
Este número também pode ser calculado como soma de uma série infinita:[10]
Ele também é o único número positivo a tal que o gráfico da função y = ax tem um declive de 1 quando x = 0.[11]
A função exponencial (natural) exp(x) é a única função que é igual a sua própria derivada e satisfaz a equação exp(0) = 1. Visto que a função exponencial é usualmente denotada como x ↦ ex, tem-se que[12]
O logaritmo de base b pode ser definido como a função inversa de x ↦ bx. Pelo fato de b = b1 implicar em logbb = 1, e é a base do logaritmo natural, pois e = e1.[13]
O número e também pode ser caracterizado utilizando uma integral:[14]
Para outras caracterizações, veja § Representações.
História
A primeira referência à constante foi publicado em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos na base e. Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred. Em 1661, Christiaan Huygens estudou como calcular logaritmos por métodos geométricos e calculou uma quantidade que seria é o logaritmo de base 10 de e, mas ele não reconheceu o próprio e como uma quantidade de interesse.[4][15]
A constante em si foi introduzida por Jacob Bernoulli em 1683, para resolver problemas de juros continuamente compostos.[9][16] Em sua solução, a constante e ocorre como o limite de em que n representa o número de intervalos em um ano em que o juros compostos é calculado (por exemplo, n = 12 para juros compostos mensalmente).
O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b por Gottfried Leibniz em cartas a Christiaan Huygens em 1690 e 1691.[17]
Os primeiros registros de uso da letra e para a constante por Leonhard Euler são de 1727 ou 1728, em um artigo não publicado sobre forças explosivas em canhões,[18] e em uma carta para Christian Goldbach em 25 de novembro de 1731.[19][20] A primeira aparição de e em uma publicação impressa foi em Mechanica de Euler (1736).[21] É desconhecido o motivo por que Euler escolheu a letra e.[22] Apesar de que alguns pesquisadores usaram a letra c nos anos subsequentes, a letra e era mais comum e eventualmente tornou-se o padrão.[23]
Euler provou que e é a soma da série infinita em que n! é o fatorial de n.[4] A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o binômio de Newton.[10]
Aplicações
Juros compostos
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Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:[4]
Uma conta começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $ 2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano?
Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses será de 50%, então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo $ 1,00 × 1,52 = $ 2,25 no fim do ano. Se for rendimentos trimestrais, renderá $ 1,00 × 1,254 = $ 2,44140625, e mensalmente será $ 1,00 × (1 + 1/12)12 = $ 2,613035... Se há n intervalos compostos, os juros de cada intervalo será 100%/n e o valor no fim do ano será $ 1,00 × (1 + 1/n)n.[24][25]
Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite com n maior e, assim, intervalos de rendimento menores.[4] Com rendimento semanal (n = 52), o valor atinge $ 2,692596..., enquanto com rendimento diário (n = 365) atinge $ 2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que n cresce é o número que ficou conhecido como e. Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atingirá $ 2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de R, após t anos, resultará em eRt dólares com capitalização contínua. Aqui, R é a equivalência decimal dos juros expresso em porcentagem, então para 5% de juros, R = 5/100 = 0,05.[24][25]
Ensaio de Bernoulli
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O Número e também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de um em n e jogue n vezes. À medida que n aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as n apostas aproxima-se de 1/e. Para n = 20, isso já é aproximadamente 1/2,789509...
Este é um exemplo de um processo de ensaio de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em n de ganhar. Jogando n vezes é modelado pela distribuição binomial, que é proximamente relacionado ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar k vezes das n tentativas é de:[26]
Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez (k = 0) é[26]
O limite da expressão acima, quando n tende a infinito, é precisamente 1/e.[27]
Crescimento e decaimento exponencial
O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número e é uma escolha comum e conveniente:[25]
Aqui, x0 denota o valor inicial da quantidade x, k é o constante de variação, e τ é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de e.
Distribuição normal padrão
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A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão,[28] dado pela função densidade de probabilidade[29]
A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no 12 do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva resulta no fator . Esta função possui o eixo de simetria x = 0, em que obtém o seu valor máximo , e possui os pontos de inflexão x = ±1.[29]
Desarranjo
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Outra aplicação de e, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Rémond de Montmort, está no problema de desarranjos:[30] n convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em n caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por pn, é dada por:
Quando n tende a infinito, pn se aproxima de 1/e. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados as caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é de n!/e arredondado ao inteiro mais próximo, para todo n positivo.[31]
Problemas de planejamento ótimo
O valor máximo de ocorre em x = e. Equivalentemente, para qualquer valor da base b > 1, o valor máximo de x-1logb x ocorre em x = e (O problema de cálculo de Steiner [en], discutido abaixo).
Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento L que foi quebrado em n partes iguais. O valor de n que maximiza o produto de seus comprimentos é[32]
- ou
A quantidade x-1logb x também é uma medida de informação extraído de um evento que ocorre com probabilidade 1/x (aproximadamente 36,8% quando x = e, de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o problema da secretária.[27]
Assintóticos
O número e ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo assintóticos. Um exemplo é a Fórmula de Stirling para os assintóticos da função fatorial, no qual ambos os números e e π aparecem:[33]
Consequentemente,[33]
Propriedades
Cálculo
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A principal motivação para a introdução do número e, particularmente no cálculo, é para realizar cálculos diferenciais e integrais com funções exponenciais e logarítmica.[34] A função exponencial geral y = ax tem uma derivada, dada pelo limite:[35]
O limite entre parênteses à direita é independente da variável x. Seu valor acaba sendo o logaritmo de a na base e. Portanto, quando o valor de a é igual a e, o limite é igual a 1, e assim chega-se à seguinte simples identidade:[11][36]
Consequentemente, a função exponencial de base e é particularmente adequada para fazer cálculo. Ao escolher e (diferente de qualquer outro número) como base da função exponencial faz os cálculos envolvendo derivadas muito mais simples.[11]
Outra motivação vem ao considerar a derivada do logaritmo de base a (ou seja, loga x),[34] para x > 0
em que foi feita a substituição u = h/x foi feita. O logaritmo de base a de e é 1, se a for igual a e.[37] Então, simbolicamente,
O logaritmo com esta base especial é chamado de logaritmo natural, sendo denotado como ln; ele se comporta bem ao diferenciar, pois não há limite indeterminado para realizar os cálculos.
Assim, há duas maneiras de selecionar tais números especiais a. Uma maneira é definir a derivada da função exponencial ax sendo igual a ax e resolvendo para a. A outra maneira é definir a derivada do logaritmo de base a como 1/x e resolver para a. Em cada caso, chega-se a uma escolha conveniente de base para fazer cálculo. Acontece que essas duas soluções para a são, na verdade, a mesma: o número e.
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A série de Taylor para a função exponencial pode ser deduzida de fato que essa função é a sua própria derivada e que é igual a 1 quando avaliada em 0:[38]
Definindo x = 1 recupera a definição de e como a soma de séries infinitas.
A função logaritmo natural pode ser definida como a integral de 1 a x de 1/t, e a função exponencial como a função inversa do logaritmo natural. O número e é o valor da função exponencial avaliada em x = 1, ou, equivalentemente, o número no qual o logaritmo natural é 1. Disso segue que e é o único número real positivo que[39]
Porque ex é a única função (salvo pelas multiplicações por uma constante K) que é igual a sua própria derivada: e, portanto, também por sua própria antiderivada:[40]
Equivalentemente, a família de funções em que K é qualquer número real ou complexo, é a solução completa para a equação diferencial[11]
Desigualdades
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O número e é o único número real tal que para todo x positivo.[41]
Também, tem-se a desigualdade para todo x real, com a igualdade se, e somente se, x = 0. Além disso, e é a única base da exponencial que para a desigualdade ax ≥ x + 1 se mantém para todo x.[42] Este é um caso limite da desigualdade de Bernoulli.
Função do tipo exponencial
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O problema de cálculo de Steiner [en] questiona o máximo global da função
Este máximo ocorre precisamente em x = e.[43] (Pode ser verificado que a derivada de ln e é zero somente neste valor de x.)
Similarmente, x = 1/e é onde ocorre o mínimo global da função[43]
A tetração infinita
- ou
converge se e somente se x ∈ [(1/e)e, e1/e] ≈ [0.06599, 1.4447] ,[44][45] mostrado por um teorema de Leonhard Euler.[46][47][43]
Teoria dos números
O número real e é irracional. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina.[48] (Ver também a Prova de Fourirer que e é irracional.)
Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, e é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.[49]
É conjurado que e seja normal, o que significa que quando e é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).[50]
Na geometria algébrica, um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma função algébrica sobre um domínio algébrico. A constante π é um período, mas é conjurado que e não seja.[51]
Números complexos
A função exponencial ex pode ser escrita como uma série de Taylor
Já que esta série é convergente para todo valor complexo de x, é comumente utilizada para estender a definição de ex para os números complexos.[52] Isto, junto com a série de Taylor para sen e cos x, permite que seja derivado a fórmula de Euler: que vale para todo complexo x.[52] O caso especial com x = π é a identidade de Euler: que é considerado um exemplar de beleza da matemática, já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado numa prova que π é transcendente, que implica na impossibilidade da quadratura do círculo.[53][54] Além disso, a identidade implica que, no principal ramo do logaritmo,[52]
Ademais, usando as propriedades da potenciação, para qualquer inteiro n, que é a fórmula de De Moivre.[55]
As expressões cos x e sen x em termos da função exponencial pode ser deduzido como a série de Taylor:[52]
A expressão cos x + sen x às vezes é abreviado como cis x.[55]
Representações
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O número e pode ser representado de diversas maneiras: como uma série infinita, um produtório infinito, uma fração contínua, ou um limite. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua
- [56][57]
que escrito é
O seguinte produtório é avaliado como e[32]
Diversas outras representações de e como séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.
Representações estocásticas
Em adição às expressões analíticas exatas para representar e, há técnicas estocásticas para estimar e. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias X1, X2..., dados da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja V o menor número n tal que a soma das primeiras n observações exceda 1:
Então o valor esperado de V é e: E(V) = e.[58][59]
Dígitos conhecidos
O número de dígitos conhecidos de e aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos.[60][61]
Data | Dígitos decimais | Computação realizada por |
---|---|---|
1690 | 1 | Jacob Bernoulli[16] |
1714 | 13 | Roger Cotes[62] |
1748 | 23 | Leonhard Euler[63] |
1853 | 137 | William Shanks[64] |
1871 | 205 | William Shanks[65] |
1884 | 346 | J. Marcus Boorman[66] |
1949 | 2,010 | John von Neumann (no ENIAC)[67] |
1961 | 100,265 | Daniel Shanks e John Wrench[68] |
1978 | 116,000 | Steve Wozniak no Apple II[69] |
Desde 2010, a proliferação de computadores pessoais modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de e numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, um cálculo recorde foi feito, tendo sido calculado 31 415 926 535 897 (aproximadamente π ×107001130000000000000♠13) dígitos de e.[70]
Computar os dígitos
Uma maneira de computar os dígitos de e é com a série[71]
Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas p(a, b) e q(a, b). As funções são definidas como[71]
A expressão produz a n-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza divisão binária [en] para computar e com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na transformada rápida de Fourier de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.[71]
Na cultura computacional
Durante o surgimento da cibercultura, ocasionalmente indivíduos e organizações prestam homenagem ao número e.
Um antigo exemplo é do cientista da computação Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa Metafont se aproximasse de e. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante.[72]
Noutra instância, a oferta pública inicial do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar 2 718 281 828 USD, que é o arredondamento de e bilhões de dolares.[73]
O Google também foi responsável por um outdoor[74] que apareceu no coração do Vale do Silício, e posteriormente em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; e Austin, Texas. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com" (lit. primeiro número primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de e). O primeiro número primo de 10 dígitos em e é 7427466391, que começa no 99º dígito.[75] Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de e, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127º dígito.[76] Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da Google Labs onde o visitante era convidado a enviar um currículo.[77]
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- ↑ a b Jacob Bernoulli considerou o problema da composição contínua de juros, o que levou a uma expressão em série para e. Ver: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algumas questões sobre juros, com a solução de um problema sobre jogos de azar, proposto no Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), no ano de 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. Na página 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este é um problema de outro tipo: A pergunta é se algum credor investisse [uma] soma de dinheiro [com] juros, deixasse acumular, de modo [que] a cada momento recebesse [uma] parte proporcional dos juros anuais; quanto seria devido [ao] final do ano?) Bernoulli constrói uma série de potências para calcular a resposta e, em seguida, escreve:" … quæ nostra serie [expressão matemática para uma série geométrica] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … que nossa série [uma série geométrica] é maior [do que]. … se a = b, [o credor] terá a receber mais do que 2½a e menos do que 3a.) Se a = b, a série geométrica se reduz à série para a × e, então 2.5 < e < 3. (** A referência é a um problema que Jacob Bernoulli propôs e que aparece no Journal des Sçavans de 1685, ao final da página 314.)
- ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). «Sämliche Schriften Und Briefe» (PDF) (em alemão).
look for example letter nr. 6
- ↑ Euler. «Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta» (em latim).
Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (português: Escrito para o número cujo logaritmo tem a unidade, e, que é 2,7182817…")
- ↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, datado 25 de novembro de 1731 em: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Correspondência matemática e física de alguns geômetras famosos do século XVIII), vol. 1, (São Petersburgo, Russia: 1843), pp. 56–60, ver especificamente p. 58. Da p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denota aquele número cujo logaritmo hiperbólico (isto é, logaritmo natural) é igual a 1), … )
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- ↑ Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (São Petersburgo (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Capítulo 2, Corolário 11, parágrafo 171, p. 68. Da página 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Então isto [ou seja, c, a velocidade] será ou , em que e denota o número pelo qual o logaritmo hiperbólico [isto é, natural] é um.)
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Leitura adicional
Ligações externas
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- 1 milhão de casas decimais do número e e NASA.gov para 2, 5 e 10 milhões de casas decimais (em inglês)
- Aproximações de e (em inglês) no Wolfram MathWorld
- Primeiros usos de símbolos para constantes (em inglês) 13 de janeiro de 2008
- A história de e (em inglês), por Robin Wilson no Gresham College, 28 de fevereiro de 2007 (download disponível do áudio e vídeo)
- Ferramenta de busca de e (em inglês) 2 bilhões de dígitos pesquisáveis de e, π e √2