Wzory skróconego mnożenia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Kvadreringsregeln.svg/220px-Kvadreringsregeln.svg.png)
Wzory skróconego mnożenia – zestaw tożsamości algebraicznych zawierających potęgi o wykładniku naturalnym oraz dodawanie i odejmowanie; wzory te zawierają wyrażenie algebraiczne takie jak:
- potęgi skończonych sum i różnic:
- różnice dwóch potęg:
- dla wykładników nieparzystych także sumy takich potęg:
Najprostsze przykłady to te dla wykładnika dwa[1]:
- kwadrat sumy i różnicy:
- różnica kwadratów:
Wzory te zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych, zespolonych i wszystkich innych pierścieni przemiennych[potrzebny przypis], ponieważ wynikają z podstawowych własności działań jak przemienność, łączność i rozdzielność. Wzory skróconego mnożenia stosuje się w arytmetyce, algebrze i analizie; przykłady ich użycia to[2]:
- przyspieszanie obliczeń, umożliwiające wykonanie pewnych działań arytmetycznych w pamięci;
- działania na pierwiastnikach, np.:
- usuwanie niewymierności z mianowników – przekształcanie odwrotności takich wyrażeń, czyli ich minus pierwszej potęgi;
- pierwiastkowanie ich – przekształcanie ich potęgi ułamkowej;
- przekształcenia równań kwadratowych i funkcji kwadratowych[3][4];
- dowodzenie nierówności[5];
- obliczanie granic ciągów[6].
Wzory te są standardowym elementem wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo znalazły się one w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym[7].
Wykładnik dwa – wzory z kwadratami
Kwadraty sum i różnic dwóch liczb
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Bino2.svg/220px-Bino2.svg.png)
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi[8][1]:
Przykłady zastosowań arytmetycznych – obliczanie[2][9]:
- kwadratów liczb naturalnych:
Kwadraty sum więcej niż dwóch liczb
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Trinomio_al_cuadrado.svg/220px-Trinomio_al_cuadrado.svg.png)
Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech[5]:
Wzór ten można stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Po prawej stronie wzoru wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników[potrzebny przypis]:
Różnice można przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.
Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.
Różnice kwadratów
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Diferencia_de_cuadrados.svg/220px-Diferencia_de_cuadrados.svg.png)
Różnica kwadratów dwóch liczb to iloczyn sumy tych liczb i ich różnicy[1][8]:
Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika[2]:
Sumy kwadratów
Analogiczna suma nie rozkłada się na wyrażenia rzeczywiste, jednak można rozłożyć ją na iloczyn liczb zespolonych[potrzebny przypis]:
- gdzie to jednostka urojona.
Wykładnik trzy – wzory z sześcianami
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Binomio_al_cubo.svg/250px-Binomio_al_cubo.svg.png)
Sześcian sumy i różnicy[8][1]:
Suma i różnica sześcianów[8][1]:
Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika[10]:
Wykładnik cztery
Różnica czwartych potęg
Różnicę czwartych potęg można obliczyć, korzystając z:
- tego, że czwarta potęga to kwadrat kwadratu;
- podanego wyżej wzoru na różnicę kwadratów.
Wynik[11]:
Ostatni wzór można też zapisać inaczej, mnożąc sumę kwadratów przez sumę lub różnicę [12]:
Pierwszy z tych wzorów jest analogiczny do podanego wyżej wzoru na różnicę sześcianów. Ma też uogólnienie na dowolny wykładnik naturalny, podane niżej.
Tożsamość Sophie Germain
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Germain.jpeg/220px-Germain.jpeg)
Suma czwartej potęgi oraz czterokrotności czwartej potęgi zawsze jest iloczynem dwóch wyrażeń kwadratowych (stopnia drugiego)[13]:
Ta tożsamość algebraiczna znajduje zastosowania w arytmetyce – zarówno elementarnej, jak i wyższej – oraz algebrze i analizie. Z pomocą tej równości można:
- obliczać niektóre sumy i iloczyny, skończone[13] lub nie[14];
- dowodzić, że niektóre liczby całkowite zapisane wprost lub wzorami są złożone[13][14][15];
- badać rozkładalność niektórych dwumianów o współczynnikach całkowitych[14];
- rozwiązywać niektóre równania diofantyczne[14].
Wzory ogólne
Potęgi sum i różnic
Potęga naturalna sumy dwóch składników to szczególny przypadek dwumianu Newtona[12]:
Potęga naturalna sumy dowolnej skończonej liczby składników to[16]:
gdzie
Różnice i sumy potęg
Różnica dwóch potęg tego samego stopnia naturalnego to[12]:
Przykład – różnica piątych potęg[11]:
Oprócz tego[12]:
Przykład – suma piątych potęg[11]:
Przypisy
- ↑ a b c d e skróconego mnożenia wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-07] .
- ↑ a b c
Paweł Kwiatkowski i Witold Sadowski, Wzory skróconego mnożenia. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-07].
- ↑
Szymon Charzyński, Rozpoznawanie kwadratu dwumianu w trójmianie kwadratowym, kanał Khan Academy na YouTube, 26 kwietnia 2016 [dostęp 2023-12-08].
- ↑
Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-09].
- ↑ a b
Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Krysicki i Włodarski 1994 ↓, s. 32.
- ↑
Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 15 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑
Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Zadania, zadania generatorowe, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Nowa Era 2020 ↓, s. 67.
- ↑ a b c Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-07].
- ↑ a b c d
Wzory skróconego mnożenia, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ a b c Kobos 2015 ↓, s. 3.
- ↑ a b c d
Patrick Corn, Anandmay Patel, Worranat Pakornrat, Jimin Khim, Sophie Germain Identity (ang.), brilliant.org [dostęp 2024-05-08].
- ↑
Sophie Germain's identity (ang.), On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, oeis.org, 9 listopada 2013 [dostęp 2024-05-08].
- ↑ GrzegorzG. Łukaszewicz GrzegorzG., Baruch Spinoza i matematyka, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, styczeń 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-06-04] (pol.).
Bibliografia
- Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha, Dorota Ponczek, Jolanta Wesołowska: Matematyka 2. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Wydawnictwo Nowa Era, 2020. ISBN 978-83-267-3900-2.
Tomasz Kobos. Tożsamość Sophie Germain. „Kwadrat. Gazetka Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów”, s. 3, lipiec 2015. Stowarzyszenie Edukacji Matematycznej. ISSN 2300-0708. [dostęp 2024-05-07].
- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.
- p
- d
- e
podstawowe typy liczb | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działania |
| ||||||||
ułamki | |||||||||
symbole |
| ||||||||
reguły zapisu | |||||||||
prawa działań |
| ||||||||
narzędzia |
| ||||||||
powiązane pojęcia | |||||||||
rozszerzenia |
- p
- d
- e
iloczyny sum kwadratów |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
inne iloczyny sum |
| ||||
inne |
|
- Treccani: prodotti-notevoli