Przestrzeń zupełna
![]() | Ten artykuł dotyczy przestrzeni metrycznych/metryzowalnych. Zobacz też: przestrzeń topologicznie zupełna. |
Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni[1].
Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby , która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych.
Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni.
Przykłady
Przestrzenie zupełne
- Przestrzenie euklidesowe n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi.
- Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
- Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne.
- Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.
Przestrzenie niezupełne
- Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział nie jest zupełny, gdyż np. ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
- Zbiór liczb wymiernych nie jest zupełny, gdyż np.
- ciąg oraz jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna =
- ciąg jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = (liczba Nepera).
Zupełność jako niezmiennik
Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.
Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.
Np. zbiór liczb rzeczywistych oraz dowolny przedział obustronnie otwarty są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi (więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty nie jest.
Dalsze własności
Tw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.
Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.
Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona przestrzeń metryczna jest zwarta.
Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.
Twierdzenie Hausdorffa
Tw. Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)
- Dla każdej przestrzeni metrycznej istnieje przestrzeń metryczna zupełna oraz zanurzenie izometryczne dla którego jest gęstą podprzestrzenią Przestrzeń nazywa się uzupełnieniem przestrzeni
- Ponadto jeśli jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie dla którego jest gęstą podprzestrzenią to i są izometryczne.
Innymi słowy:
- Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie – z dokładnością do izometrii.
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.
Zobacz też
- przestrzeń ośrodkowa
- przestrzeń spójna
- przestrzeń topologiczna
- przestrzeń topologicznie zupełna
- przestrzeń zwarta
Przypisy
- ↑ I. Przestrzenie metryczne. W: Janina Wolska-Bochenek, Andrzej Borzymowski, Jerzy Chmaj, Magdalena Tryjarska: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981. ISBN 83-01-01693-0.
Bibliografia
- W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
- Catalana: 0153144