Twierdzenie Cantora o zupełności

Twierdzenie Cantora – twierdzenie teorii przestrzeni metrycznych autorstwa Georga Cantora będące warunkiem koniecznym i dostatecznym zupełności danej przestrzeni metrycznej: każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma granicę (tj. niepuste przecięcie; zob. zbiory rozłączne)^[1].

Dla przestrzeni metryzowalnych pokryciowa definicja zwartości jest równoważna następującej definicji za pomocą ciągów zbiorów: każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych^[a] ma granicę (tj. niepuste przecięcie). Warunek Cantora jest słabszy niż przytoczona definicja, dlatego każda metryzowalna przestrzeń zwarta jest zupełna^[b]. Powyższej obserwacji można również dowieść, powołując się na równoważną (dla przestrzeni metryzowalnych) powyższym definicjom definicję ciągową: z każdego ciągu punktów przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni; oraz wykorzystaną w dowodzie własność ciągów Cauchy’ego: punkt skupienia ciągu Cauchy’ego jest jego granicą.

 Zobacz też: ciąg zbiorów i ciąg Cauchy’ego.

Konieczność

Jeżeli ${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \dots }$ jest ciągiem zbiorów domkniętych przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X,}$ przy czym ${\displaystyle \mathrm {diam} \;F_{n}\to 0}$ oraz ${\displaystyle x_{n}\in F_{n},}$ to ${\displaystyle (x_{n})}$ jest ciągiem Cauchy’ego. Z zupełności ${\displaystyle X}$ wynika, że ${\displaystyle a_{n}\to a\in X,}$ a ponieważ ${\displaystyle a_{n}\in \mathrm {cl} \;F_{n}=F_{n}}$ dla ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ (z ich domkniętości), to ${\displaystyle a\in \bigcap F_{n}\neq \varnothing .}$

Dostateczność

Niech ${\displaystyle X}$ spełnia warunek Cantora, zaś ${\displaystyle (a_{n})}$ będzie ciągiem Cauchy’ego. Zbiory domknięte ${\displaystyle F_{n}=\mathrm {cl} \;\{a_{m}\colon m\geqslant n\}}$ tworzą ciąg zstępujący, dla którego ${\displaystyle \mathrm {diam} \;F_{n}\to 0,}$ zatem istnieje punkt ${\displaystyle a\in \bigcap F_{n},}$ który jest punktem skupienia ${\displaystyle (a_{n}),}$ zatem ${\displaystyle a_{n}\to a}$ na mocy własności ciągu Cauchy’ego.