Przestrzenie – dla ustalonej liczby dodatniej – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg -tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie oraz są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni
Przestrzenie znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.
Skończenie wymiarowe przestrzenie ℓpn
Sfera jednostkowa w przestrzeni
W przestrzeni gdzie jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego rozważać funkcję
daną wzorem
Dla funkcja ta jest normą wraz z którą jest -wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem W przypadku norma przestrzeni jest normą euklidesową.
Przestrzenie ℓp
Osobny artykuł: Przestrzeń l1.
Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:
dodawanie:
mnożenie przez skalar:
gdzie jest skalarem.
Zbiór wszystkich ciągów liczbowych z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych dla których
tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni
Dopuszczając definiuje się
Przestrzenie to podprzestrzenie liniowe dla których
Powyższy wzór określa normę w dla Warunek trójkąta dla normy w przypadku wynika z nierówności Minkowskiego:
Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni Ciąg o wyrazie ogólnym nie należy do przestrzeni jednak dla każdego należy on do przestrzeni
Własności
Przestrzenie i nie są refleksywne, natomiast w przypadku przestrzenie są. Dla przestrzeń sprzężona do jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią gdzie (konwencja: ). Dualność ta wyznaczona jest przez związek
Przestrzeń jest nieośrodkowa, podczas gdy dla przestrzenie są ośrodkowe.
definiuje normę przestrzeni Norma ta jest zupełna, a więc jest przestrzenią Banacha. Gdy jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem oznacza się przestrzeń gdzie jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru
Gdy miara jest skończona, to zachodzą inkluzje o ile tylko (włączając przypadek zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy jest nieskończona, tj. powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego funkcja
należy do ale nie należy do gdy
Przestrzeń L∞
Symbolem oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że
z normą
Przestrzenie Lp dla 0 < p < 1
W przypadku nadal można mówić o przestrzeniach nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).
Dla liczb nieujemnych oraz liczby znana jest następująca nierówność:
więc kula jest ograniczona, tj. przestrzeń jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli jest operatorem liniowym i ciągłym oraz jest elementem bazy to jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji zawiera się w każdym elemencie bazy tj. jest operatorem zerowym.