Czworościan foremny
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Siatki_czworoscianu.svg/300px-Siatki_czworoscianu.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/4-sided_dice_250.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Siatki_czworoscianu_-_uszy.svg/220px-Siatki_czworoscianu_-_uszy.svg.png)
Czworościan foremny a. tetraedr (z gr.)[1] – czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1) i (1, −1, −1).
Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.
Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni[a]. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi, uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.
Wzory i własności
W poniższych wzorach oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Wysokość, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:
Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:
Promień kuli opisanej:
Promień kuli wpisanej:
Promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu:
Zależności między promieniami
- [b],
Miara kąta między ścianami:
Czworościan foremny ma:
- 6 płaszczyzn symetrii, każda z nich przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi,
- 3 osie symetrii, każda z nich przechodzi przez środki przeciwległych krawędzi,
- 4 osie obrotu, każda z nich przechodzi przez wierzchołek czworościanu i środek przeciwległej ściany.
Zobacz też
![]() | Zobacz multimedia związane z tematem: Czworościan foremny |
Uwagi
- ↑ Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany.
- ↑ Wzory te są 3-wymiarową kontynuacją wzorów dla trójkąta równobocznego, w których promień okręgu opisanego jest jego wysokości a promień okręgu wpisanego jest jego wysokości, patrz ogólna zależność dla sympleksów.
Przypisy
- ↑ tetraedr, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
- p
- d
- e
|
w nawiasach () podano liczbę ścian