ジェラベク双曲線

幾何学において、ジェラベク双曲線（じぇらべくそうきょくせん、英:Jerabek hyperbola）は、チェコの数学者ヴァーツラフ・ジェラベク（英語版、チェコ語版）にちなんで名付けられた、三角形の頂点、外心、垂心などを通る双曲線である^[1]。オイラー線の等角共役点の軌跡としても定義される。

双曲線上の点

ジェラベク双曲線は、三角形の頂点、外心、垂心の他、以下の点などを通る^[2]。番号は三角形の中心、「Encyclopedia of Triangle Centers」を参照。

類似重心X(6)、重心X(2)の等角共役
コスニタ点X(54)、九点円の中心X(5)の等角共役
ド・ロンシャン点X(20)の等角共役X(64)
ジェルゴンヌ三角形の垂心X(65)、シフラー点X(21)の等角共役
プラソロフ点X(68)、垂足三角形の垂足三角形と元の三角形の配景の中心X(24)の等角共役
反中点三角形の類似重心X(69)、接線三角形と垂足三角形の相似の中心X(25)の等角共役

双曲線の中心

「Encyclopedia of Triangle Centers」では、ジェラベク双曲線の中心（Jerabek center^[3]）はX(125)として登録されており、三線座標によって以下の式で与えられる^[4]。

$\cos A\sin ^{2}(B-C):\cos B\sin ^{2}(C-A):\cos C\sin ^{2}(A-B)$

性質

九点円上にある。一般に、三角形の頂点と垂心を通る直角双曲線の中心は九点円上にある（ポンスレ束）^[5]。
キーペルト放物線の焦点X(110)を重心を中心に-1/2倍拡大した点である^[4]。
重心、タリ―点、X(110)と共線である。

式

ジェラベク双曲線は、三線座標(x:y:z)を用いて、以下の式で表される^[2]。

${\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0$

第四交点

ジェラベク双曲線と外接円の第四交点は「Encyclopedia of Triangle Centers」でX(74)として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる^[6]。

${\frac {1}{\cos A-2\cos B\cos C}}:{\frac {1}{\cos B-2\cos C\cos A}}:{\frac {1}{\cos C-2\cos A\cos B}}$

性質

オイラー無限遠点の等角共役点である。
X(74)と垂心の中点はX(125)である。
X(74)はノイベルグ三次曲線上にある^[7]。
外接円に関する、X(110)の対蹠点である。
ド・ロンシャン点とプラソロフ点と共線である。

出典

^ PARIS PAMFILOS. “SECOND NOTE ON JERABEK’S HYPERBOLA”. INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRY. 2024年5月8日閲覧。
^ ^a ^b Weisstein, Eric W.. “Jerabek Hyperbola” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月4日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Jerabek Center” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月4日閲覧。
^ ^a ^b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(125) = CENTER OF JERABEK HYPERBOLA”. faculty.evansville.edu. 2024年5月4日閲覧。
^ 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年5月5日閲覧。
^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(74) = ISOGONAL CONJUGATE OF EULER INFINITY POINT”. faculty.evansville.edu. 2024年5月4日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Neuberg Cubic” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月4日閲覧。