Teorema del factor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ tiene un factor ${\displaystyle (x-k)}$ si y solo si ${\displaystyle k}$ es una raíz de ${\displaystyle P(x)}$, es decir que ${\displaystyle P(k)=0}$.

Ejemplo

Si se deseara encontrar los factores de ${\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2}$, se tantean las raíces de ${\displaystyle p(x)}$ para obtener los factores ${\displaystyle (x-k)}$. Si el resultado de sustituir ${\displaystyle k}$ en el polinomio es igual a 0 (es decir, si ${\displaystyle k}$ es raíz), se sabe que ${\displaystyle (x-k)}$ es un factor. Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de ${\displaystyle p(x)}$ son ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 2\}}$ por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.

¿Es ${\displaystyle (x-1)}$ un factor de ${\displaystyle p(x)}$? Para saberlo, se sustituye ${\displaystyle x=1}$ en el polinomio:

${\displaystyle p(1)=1^{3}+7\cdot 1^{2}+8\cdot 1+2=1+7+8+2=18\neq 0}$

y se determina que ${\displaystyle (x-1)}$ no es un factor de ${\displaystyle p(x)}$. Se prueba ahora con ${\displaystyle (x-(-1))=(x+1)}$ de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es ${\displaystyle -1}$ una raíz del polinomio:

${\displaystyle p(-1)=(-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}+8\cdot (-1)+2=0}$

Por tanto, ${\displaystyle (x+1)}$ es un factor porque -1 es una raíz de ${\displaystyle p(x)}$.

Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría.

${\displaystyle g(x)={\frac {p(x)}{x+1}}={\frac {x^{3}+7x^{2}+8x+2}{x+1}}=x^{2}+6x+2}$

Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que ${\displaystyle g(x)}$ no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma ${\displaystyle (x-k)}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$), por lo que ${\displaystyle p(x)}$ solo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que ${\displaystyle p(x)}$ tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (${\displaystyle k\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$), o ambos complejos no reales (${\displaystyle k\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R} }$).

${\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2=(x+1)\cdot (x^{2}+6x+2)=(x+1)\cdot (x+3+{\sqrt {7}})\cdot (x+3-{\sqrt {7}})}$