Teorema de los ceros de Hilbert

El Nullstellensatz de Hilbert (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros de Hilbert") es un teorema en geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert en su artículo sobre teoría de invariantes publicado en 1893.

Sea ${\displaystyle k}$ un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos). Considere el anillo de polinomios ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$ y sea ${\displaystyle I}$ un ideal en este anillo. El conjunto algebraico ${\displaystyle V(I)}$ definido por este ideal consiste de todas las n-tuplas ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ en ${\displaystyle k^{n}}$ tal que ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}$ para todo ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle I}$. El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si ${\displaystyle p}$ es un polinomio en ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$ que se anula en la variedad ${\displaystyle V(I)}$, i.e. ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en ${\displaystyle V(I)}$, entonces existe un número natural ${\displaystyle r}$ tal que ${\displaystyle p^{r}}$ está en ${\displaystyle I}$.

Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil: El ideal ${\displaystyle I}$ contiene a ${\displaystyle 1}$ si y solo si los polinomios en ${\displaystyle I}$ no tienen ceros en común en ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$. Equivalentemente, si ${\displaystyle I}$ es un ideal propio en ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$ entonces ${\displaystyle V(I)}$ no puede ser vacío. Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable a partir de esta forma "débil" usando el truco de Rabinowitsch. La suposición de que ${\displaystyle k}$ es algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo el ideal propio ${\displaystyle (X^{2}+1)}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ no tiene un cero común en ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como

I(V(J)) = ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ para todo ideal ${\displaystyle J}$

Aquí, ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ denota el radical de ${\displaystyle J}$ e ${\displaystyle I(U)}$ denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto ${\displaystyle U}$. De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en ${\displaystyle k^{n}}$ y los ideales radicales de ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$ .

• Shafarevich, Igor. Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space. ISBN 978-3-642-37955-0.