Programación geométrica

Un programa geométrico es un problema de optimización de la forma

Minimizar ${\displaystyle \ f_{0}(x)\ }$ tal que

${\displaystyle f_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle h_{i}(x)=1,\quad i=1,\dots ,p}$

donde ${\displaystyle f_{0},\dots ,f_{m}}$ son posinomios y ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{p}}$ son monomios. Hay que subrayar que al hablar de programación geométrica (al contrario que en otras disciplinas), un monomio se define como una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle \mathrm {dom} \ f=\mathbb {R} _{++}^{n}}$ definido como

${\displaystyle f(x)=cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}$

donde ${\displaystyle c>0\ }$ y ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$.

Tiene múltiples aplicaciones, como el dimensionamiento de circuitos y la estimación paramétrica vía regresión logística en estadística.

Los programas geométricos no son por regla general problemas de optimización convexa, pero pueden transformarse en ellos mediante un cambio de variables y una transformación de las funciones objetivo y de restricción. Definiendo ${\displaystyle y_{i}=\log {x_{i}}}$, el monomio ${\displaystyle f(x)=cx_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\mapsto e^{a^{T}y+b}}$, donde ${\displaystyle b=log{c}}$. De la misma forma, si ${\displaystyle f}$ es el posinomio

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_{k}x_{1}^{a_{1k}}\cdots x_{n}^{a_{nk}}}$

entonces ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{K}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}}$, donde ${\displaystyle a_{k}=(a_{1k},\dots ,a_{nk})}$ y ${\displaystyle b_{k}=\log {c_{k}}}$. Tras el cambio de variables, el posinomio se convierte en una suma de exponenciales de funciones afines.

• S. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi, A Tutorial on Geometric Programming

• S. Boyd, S. J. Kim, D. Patil, and M. Horowitz Digital Circuit Optimization via Geometric Programming

• Dwight José Cabrera Salas, Jorge Armando Oliveros Hincapié, Aplicación de la programación geométrica en el diseño de amplificadores operacionales integrados en tecnología CMOS. (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).