Orden de un elemento de grupo

En el campo matemático de la teoría de grupos, se denomina orden de un elemento de grupo (o también orden de los elementos) a la mínima potencia natural a la que este debe elevarse para obtener el elemento neutro. Dicho de otra forma, el orden de un elemento ${\displaystyle g}$ de un grupo ${\displaystyle (G,\cdot )}$ es el número natural ${\displaystyle n>0}$ más pequeño para el que se verifica que ${\displaystyle g^{n}=e}$, donde ${\displaystyle e}$ es el elemento neutro del grupo. Si no existe tal número, se dice que ${\displaystyle g}$ tiene "orden infinito".^[1]​

Expreado en fórmulas:

${\displaystyle \operatorname {Ord} (g)={\begin{cases}\min\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}&{\text{si }}{\text{ existe}},\\\infty &{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}$

Los elementos de orden finito también se denominan torsionales. El orden a veces se denomina ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ o ${\displaystyle \operatorname {o} (g)}$.

La potencia ${\displaystyle g^{n}}$ de un elemento del grupo ${\displaystyle g}$ se define inductivamente para exponentes naturales ${\displaystyle n\geq 0}$:

• ${\displaystyle g^{0}:=e}$
• ${\displaystyle g^{k+1}:=g^{k}\cdot g}$ para todo ${\displaystyle k\geq 0}$ natural

El número ${\displaystyle \exp(G):={\text{Mínimo Común Multiplo }}\left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}}$, cuando es finito, se llama exponente de grupo.

• Según el teorema de Lagrange, todos los elementos de un grupo finito tienen un orden finito, y este es un divisor del orden del grupo, es decir, del número de elementos del grupo.
• Por el contrario, según el teorema de Cauchy, en un grupo finito, por cada número primo ${\displaystyle p}$ divisor del orden del grupo, hay un elemento que tiene el orden ${\displaystyle p}$. No es posible una afirmación general para divisores compuestos (mientras que el elemento neutro ${\displaystyle e=e^{1}}$ pertenece al divisor trivial 1).
• El orden de un elemento es igual al orden del subgrupo generado por ese elemento.
• ${\displaystyle g^{d}=e}$ se aplica si y solo si ${\displaystyle d}$ es un múltiplo del orden ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ del elemento ${\displaystyle g}$.
• Para cada ${\displaystyle g\in G}$ que no sea el elemento neutro ${\displaystyle e}$, se aplica lo siguiente: ${\displaystyle g}$ tiene orden 2 si y solo si es su propio inverso.
• En un grupo abeliano, el orden del producto ${\displaystyle g\cdot h}$ es un divisor del mínimo común múltiplo de los órdenes de ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle h}$. Tal afirmación no es posible en grupos no abelianos; por ejemplo, el elemento ${\displaystyle \left[\!{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\!\right]}$ del grupo SL₂(Z) tiene orden infinito, aunque es producto de los elementos ${\displaystyle \left[\!{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\!\right]}$ de orden 4 y ${\displaystyle \left[\!{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&1\end{smallmatrix}}\!\right]}$ de orden 6.

• J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlín/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.