Número de Erdős-Woods
En teoría de números, se dice que un entero positivo k es un número de Erdős-Woods si tiene la siguiente propiedad: existe un número entero positivo tal que en la secuencia (a, a + 1, ..., a + k) de enteros consecutivos, cada uno de los elementos tiene un factor común no trivial con uno de los puntos finales. En otras palabras, k es un número de Erdős-Woods si existe un entero positivo tal que para cada entero i entre 0 y k, al menos uno de los máximos comunes divisores MCD (a, a + i) y MCD (a + i, a + k) es mayor que 1.
Ejemplo
Los primeros números de Erdős-Woods son
(Podría decirse que 0 y 1 también podrían incluirse como entradas triviales).
Historia
La investigación de tales números surgió de la siguiente conjetura previa de Paul Erdős:
- Existe un entero positivo k tal que cada entero a está determinado únicamente por la lista de divisores primos de a, a + 1, ..., a + k.
Alan R. Woods investigó esta cuestión para su tesis de 1981. Woods conjeturó[1] que siempre que k > 1, el intervalo [a, a + k] siempre incluye un número coprimo para ambos puntos finales. Poco después encontró la primera secuencia ejemplo, [2184, 2185, ..., 2200], con k = 16. La existencia de esta secuencia muestra que 16 es un número de Erdős-Woods.
Dowe (1989) demostró que hay infinitos números de Erdős-Woods,[2] y Cégielski, Heroult y Richard (2003) probaron que el conjunto de números de Erdős-Woods es recursivo.[3]
Referencias
- ↑ Alan L. Woods, Some problems in logic and number theory, and their connections. Ph.D. thesis, University of Manchester, 1981. Available online at http://school.maths.uwa.edu.au Archivado el 8 de junio de 2019 en Wayback Machine.
- ↑ Dowe, David L. (1989), «On the existence of sequences of co-prime pairs of integers», J. Austral. Math. Soc. (A) 47: 84-89, doi:10.1017/S1446788700031220 ..
- ↑ Cégielski, Patrick; Heroult, François; Richard, Denis (2003), «On the amplitude of intervals of natural numbers whose every element has a common prime divisor with at least an extremity», Theoretical Computer Science 303 (1): 53-62, doi:10.1016/S0304-3975(02)00444-9 ..
Enlaces externos
- "Sloane's A059757 : Initial terms of smallest Erdos-Woods intervals", en The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Datos: Q990533