Núcleo (matemática)

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En matemáticas y especialmente en álgebra lineal, dada la transformación lineal ${\displaystyle L:V\to W}$, el kernel o núcleo de ${\displaystyle L}$, denotado por ${\displaystyle \operatorname {Ker} (L)}$ o ${\displaystyle \operatorname {Nuc} (L)}$, se define como el conjunto de todos los vectores en ${\displaystyle V}$ cuya imagen bajo ${\displaystyle L}$ sea el vector nulo de ${\displaystyle W}$, es decir, el ${\displaystyle \operatorname {Ker} (L)}$ se define como

${\displaystyle \operatorname {Ker} (L)=\{{\vec {v}}\in V:L({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}}$

Considere la función

${\displaystyle {\begin{aligned}f:\mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto x-y\end{aligned}}}$

que es lineal cumple que para ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))&=f(\alpha x_{1}+x_{2},\alpha y_{1}+y_{2})\\&=(\alpha x_{1}+x_{2})-(\alpha y_{1}-y_{2})\\&=(\alpha x_{1}-\alpha y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha (x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2})\end{aligned}}}$.

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden pues

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ker} (f)&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:f(x,y)=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x-y=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=y\}\\&=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}\end{aligned}}}$

en concreto el ${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}$ es el conjunto:

${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}}$

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta ${\displaystyle y=x}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar ${\displaystyle a\cdot x}$ tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0}$,

que equivale a la ecuación lineal:

${\displaystyle x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0}$ .

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left((-2,1,0),(-3,0,1)\right)}$.

Dado un operador lineal ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ con matriz asociada ${\displaystyle A}$, el núcleo es un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, cuya dimensión se denomina nulidad de ${\displaystyle A}$, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz ${\displaystyle A}$. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

• Conjunto imagen.
• Teorema rango-nulidad.

• Weisstein, Eric W. «Kernel». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Kernel of a linear mapping en PlanetMath.