La traspuesta A T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A T )T = A . Sea A {\displaystyle A} una matriz con m {\displaystyle m} filas y n {\displaystyle n} columnas. La matriz traspuesta , denotada con A t {\displaystyle A^{t}} .[ 1] [ 2]
Está dada por:
( A t ) i j = A j i , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle (A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m} [ 3] En donde el elemento a j i {\displaystyle a_{ji}} de la matriz original A {\displaystyle A} se convertirá en el elemento a i j {\displaystyle a_{ij}} de la matriz traspuesta A t {\displaystyle A^{t}} .
Ejemplos [ a b c d e f ] t = [ a c e b d f ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}} [ 1 2 3 4 5 6 ] t = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}} Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:
[ 0 0 4 1 0 4 0 1 0 0 3 2 0 2 3 0 3 4 3 3 1 ] t = [ 0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 3 2 3 3 4 4 0 2 3 4 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&4\\1&0&4\\0&1&0\\0&3&2\\0&2&3\\0&3&4\\3&3&1\end{bmatrix}}^{t}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\\0&0&1&3&2&3&3\\4&4&0&2&3&4&1\end{bmatrix}}}
Propiedades Involutiva Para toda matriz A {\displaystyle A} , ( A t ) t = A {\displaystyle (A^{t})^{t}=A\,} Demostración Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean a ij dichos elementos, denotando por A = (a ij )ij a la matriz, se tiene ( A t ) t = ( ( a i j ) i j t ) t = ( ( a j i ) i j ) t = ( a i j ) i j = A {\displaystyle (A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A} ∎
Distributiva Sean A y B matrices con elementos en un anillo A {\displaystyle {\mathcal {A}}} y sea c ∈ A {\displaystyle c\in {\mathcal {A}}} : ( A + B ) t = A t + B t {\displaystyle (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,} Demostración Denotando por A = (a ij )ij , B = (b ij )ij y A +B = (c ij )ij , donde c ij = a ij +b ij , se tiene ( A + B ) t = ( c i j ) i j t = ( c j i ) i j = ( a j i + b j i ) i j = ( a j i ) i j + ( b j i ) i j = A t + B t {\displaystyle (A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}} ∎
Lineal ( c A ) t = c A t {\displaystyle (c\,A)^{t}=c\,A^{t}} Demostración Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa c A = c ( a i j ) i j = ( c a i j ) i j {\displaystyle cA=c\left(a_{ij}\right)_{ij}=\left(ca_{ij}\right)_{ij}}
sea d ij = c aij , con esta notación se tiene c A = (dij )ij , por trasposición queda
( c A ) t = ( d i j ) i j t = ( d j i ) i j = ( c a j i ) i j = c A t {\displaystyle (cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}} ∎
Para el producto usual de las matrices A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} , ( A B ) t = B t A t {\displaystyle (AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,} Demostración Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (a ij )ij , B = (b ij )ij y A B = (c ij )ij entonces por definición c i j = ∑ k = 1 r a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}}
por trasposición queda
c j i = ∑ k = 1 r a j k b k i = ∑ k = 1 r b k i a j k {\displaystyle c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}}
que coincide con la definición de producto para B t A t ∎
Si A {\displaystyle A} es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces A t A {\displaystyle A^{t}A\,} es semidefinida positiva.
Demostración Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \scriptstyle \|\cdot \|} denotando la norma euclídea. x t A t A x = ( A x ) t A x = ‖ A x ‖ 2 {\displaystyle x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\|Ax\|^{2}}
de las propiedades de la norma se deduce x t A t A x ≥ 0 para todo x , luego A t A es semidefinida positiva. ∎
Definiciones asociadas Una matriz cuadrada A {\displaystyle A} es simétrica si coincide con su traspuesta:
A t = A {\displaystyle A^{t}=A\,} Una matriz cuadrada A {\displaystyle A} es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.
A t = − A {\displaystyle A^{t}=-A\,} Si los elementos de la matriz A {\displaystyle A} son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica .
A t = A ¯ , A = ( A ¯ ) t = A † {\displaystyle A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }} y antihermítica si
A t = − A ¯ {\displaystyle A^{t}=-{\bar {A}}} Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).
Véase también La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal. Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices. Trasposición de un operador lineal
Referencias ↑ García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685 . ↑ Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661 . ↑ «MATRIZ TRASPUESTA». p. 2.
Enlaces externos Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Transposed_matrix&oldid=15848», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés) , Springer, ISBN 978-1556080104 . Control de autoridades Proyectos Wikimedia Datos: Q223683 Ontologías Número IEV: 102-06-17
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