Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle M_{X}(t):=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right],\quad t\in \mathbb {R} ,}$

siempre que esta esperanza exista.

La función generatriz de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de ${\displaystyle t=0}$, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0).}$

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.^{[cita requerida]}

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generatriz no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ es un vector aleatorio n-dimensional, se usa ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }$ en lugar de ${\displaystyle tX}$:

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left[e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right]}$

En ocasiones se escribe ${\displaystyle M(t)}$ en lugar de ${\displaystyle M_{X}(t)}$ y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria continua con función de densidad ${\displaystyle f(x)}$, entonces la función generadora de momentos viene dada por:

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle M_{X}(t)=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots }$

donde ${\displaystyle m_{i}}$ es el ${\displaystyle i}$-ésimo momento. ${\displaystyle M_{X}(-t)}$ es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de ${\displaystyle f(x)}$.

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}$

donde ${\displaystyle F}$ es la función de distribución. Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$

donde las ${\displaystyle a_{i}}$ son constantes, entonces la función de densidad de ${\displaystyle S_{n}}$ es la convolución de la función de densidad de cada una de las ${\displaystyle X_{i}}$ y la función generadora de momentos para ${\displaystyle S_{n}}$ viene dada por

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)}$

Para variables aleatorias multidimensionales ${\displaystyle X}$ con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{\langle t,X\rangle }\right]}$

donde t es un vector y ${\displaystyle \langle t,X\rangle }$ es el producto punto.

• Si ${\displaystyle X\sim {\text{Unif}}(a,b)}$ entonces ${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}}$.
• Si ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ entonces ${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ entonces ${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}$.
• Si ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ entonces ${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$ entonces ${\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-n/2}}$.

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$ entonces la función de probabilidad está dada por

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}}$

para ${\displaystyle x=0,1}$ por lo que la función generatriz de momentos es

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\operatorname {E} [e^{tX}]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}\operatorname {P} [X=x]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}p^{x}(1-p)^{1-x}\\&=(1-p)+e^{t}p\\&=1-p+pe^{t}\end{aligned}}}$

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generatriz de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica

La función característica ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ está relacionada con la función generadora de momentos vía

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{X}(it)}$

siempre que ambas existan.

Función generadora de probabilidad

La función generatriz de momentos y la función generatriz de probabilidades se relacionan por la igualdad

${\displaystyle M_{X}(t)=G(e^{t})}$

donde

${\displaystyle G(e^{t})={\text{E}}\left({\text{exp}}(t)^{X}\right)}$

siempre que ambas existan.

• Función característica