Frontera (topología)

Dado un espacio topológico ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle S}$ un subconjunto de ${\displaystyle X}$, se define la frontera o límite de ${\displaystyle S}$ como la intersección de la clausura de ${\displaystyle S}$ con la clausura del complemento de ${\displaystyle S}$, y se denota por ${\displaystyle \partial S}$. En otras palabras:

${\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {X\smallsetminus S}}}$

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

${\displaystyle \partial S={\overline {S}}\smallsetminus {\mbox{int}}(S)}$

Donde: ${\displaystyle {\mbox{int}}(S)\,}$ denota el interior de ${\displaystyle S\,}$.

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto ${\displaystyle S}$ es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en ${\displaystyle S}$ como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado.

Sea ${\displaystyle X}$ el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

• Si ${\displaystyle S=(0,2)\,}$, ${\displaystyle \partial S=\{0,2\}\,}$.
• Si ${\displaystyle S=\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \partial S=\mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$

En el plano ℝ² la frontera del círculo ${\displaystyle C(H,r)=\{P\in \mathbb {R} ^{2}|d(H,P)\leq r\}}$ es la circunferencia de radio r y centro en H, con la topología usual.

En ℝ³:

• La frontera de la bola ${\displaystyle B_{1}(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{3}|d(x,y)\leq 1\}}$ es la esfera de radio unidad y centro en x, o lo que es lo mismo, ${\displaystyle \partial B_{1}(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{3}|d(x,y)=1\}}$.

• La frontera de un conjunto es cerrada.
• La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento: ∂S = ∂(S^C).

De lo que se deduce que:

• p es un punto de la frontera de un conjunto si y solo si todo entorno de p contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto que no sea del conjunto.
• Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y es abierto si y solo si es disjunto de su frontera.
• El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera. S = S ∪ ∂S.
• La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es abierto y cerrado a la vez.
• En ℝⁿ, todo subconjunto cerrado es frontera de algún conjunto.

Dado un conjunto abierto y acotado ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ y una aplicación continua ${\displaystyle f\in C^{0}({\bar {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})}$ que es inyectiva sobre ${\displaystyle \Omega }$. Entonces se cumple:

• ${\displaystyle f({\bar {\Omega }})={\overline {f(\Omega )}}}$
• ${\displaystyle f(\Omega )=f({\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }})\subset {\mbox{int}}\ f({\bar {\Omega }})}$
• ${\displaystyle f(\partial \Omega )\supset f({\bar {\Omega }})}$

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple ${\displaystyle {\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }}=\Omega }$ y la función continua es inyectiva sobre el compacto ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

• ${\displaystyle f(\Omega )=f({\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }})={\mbox{int}}\ f({\bar {\Omega }})}$
• ${\displaystyle f(\partial \Omega )=f({\bar {\Omega }})}$

• Lagos de Wada. Ejemplo que muestra como n abiertos del plano pueden tener una frontera común.