Espacio contráctil
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La noción de espacio contráctil o contractible es muy importante en topología algebraica, ya que representa la clase más sencilla de espacios desde el punto de vista de la homotopía.[1][2]
En topología, un espacio topológico es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, es decir, si existe una equivalencia homotópica entre el espacio y un espacio formado por un solo punto.[3]Esto significa, por definición, que existan dos funciones continuas de a y viceversa que compuestas sean homótopas a la identidad de cada espacio.
En un espacio topológico contráctil o contractible la aplicación identidad es homótopa a alguna aplicación constante tal que con para cualquier . Intuitivamente, un espacio contráctil puede ser deformado continuamente hasta convertirlo en un punto.[4] [5] [6] De hecho, esta propiedad es equivalente a la definición y se puede tomar como definición alternativa, como se demuestra a continuación.
Definiciones
La definición que se ha dado antes es que es contráctil si es homotópicamente equivalente a un conjunto formado por un solo punto. Esto significa que existan dos funciones continuas y tales que y donde denota la relación de homotopía.
En este caso, se tiene que la identidad de es homótopa a una constante. En efecto, es una aplicación constante igual a y, por lo anterior, , y esta última aplicación es la aplicación constante igual a .
El recíproco también es cierto: si la identidad de es homótopa a una constante (pongamos igual a ), entonces es homotópicamente equivalente a un punto. Para ver esto último tenemos que construir dos funciones continuas y tales que y . La función sólo puede ser la constante igual a , y para definir sólo tenemos que definir . Tomamos . Entonces es la identidad en ; en particular, . Por otro lado, es la constante igual a , que es, por hipótesis, homótopa a la identidad de . Con esto tenemos todo lo que queríamos.
En conclusión, tenemos dos formas equivalentes de definir espacio contráctil:
- Un espacio contráctil es aquel homotópicamente equivalente a un punto.
- Un espacio contráctil es aquel en que la aplicación identidad es homótopa a una constante.
Propiedades
Un espacio contráctil verifica las siguientes propiedades:
- Es conexo por caminos.
Demostración |
Dados dos puntos , construimos un camino continuo entre ellos. Por ser contráctil, la identidad es homótopa a una constante, digamos que igual a . Esto quiere decir que existe una aplicación continua (homotopía) tal que para todo . Construimos un camino de a . Simétricamente, podremos construir un camino de a e, invirtiéndolo, uno de a . Concatenando el primero y este último obtenemos un camino (continuo por el lema del pegado) de a , como queremos. El camino de a es el siguiente: definido como , que es continuo por serlo . En efecto, tenemos que y . |
- Su grupo fundamental de homotopía es trivial. Esto es inmediato a partir de que el grupo fundamental se conserve por equivalencia homotópica y que un espacio contráctil sea equivalente homotópicamente a un punto.
- Como consecuencia de las dos propiedades anteriores, es simplemente conexo.
Ejemplos
- El espacio euclídeo es contráctil. De hecho, cualquier conjunto estrellado lo es. Para verlo, basta tomar un centro de la estrella y considerar la homotopía , entre la identidad en y la constante igual a (está bien definida porque cada segmento entre y está totalmente contenido en por ser estrellado de centro ). Esto significa, por la definición 2. anterior, que es contráctil.
- La esfera n-dimensional no es contráctil.
- La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones es contráctil como consecuencia del teorema de Kuiper.
Referencias
- ↑ GRUPO FUNDAMENTAL, SUPERFICIES, NUDOS Y APLICACIONES RECUBRIDORAS, página20.
- ↑ ENTROPIA Y TOPOLOGIA DE VARIEDADES. C3. Clase 3: Algunos resultados parciales.
- ↑ Boletin de la Academia Nacional de Ciencias Se puede demostrar que Ko es un invariante homotópico ; en particular si X es un espacio contractible.
- ↑ Dictionar Technic Poliglot Espacio contractible, Página 1184.
- ↑ Geometría diferencial, No es difícil demostrar que si X es espacio contractible, página 75.
- ↑ Extracta Mathematicae, volumen 9 Contractible, Página 155.
Bibliografía
- Ayala-Domínguez-Quintero (2002). Elementos de la teoría de homología clásica. Universidad de Sevilla. Secretariado de publicaciones. ISBN 84-472-0705-6.
Datos: Q230689