Derivada de una función en forma paramétrica

Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

Sean ${\displaystyle x(t)\,}$ e ${\displaystyle y(t)\,}$ las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:

${\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}},}$

donde la notación ${\displaystyle x'(t)\,}$ indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\,}$

o en otras palabras

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}$

Formalmente, mediante la regla de la cadena;

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$

y dividiendo ambos miembros por ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ se obtiene la ecuación de arriba.

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'}{x'}}\right){\frac {1}{x'}}}$
	${\displaystyle ={\frac {x'y''-y'x''}{x'^{3}}}}$

mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:

${\displaystyle x(t)=4t^{2}\,}$

y

${\displaystyle y(t)=3t.\,}$

Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=8t}$

y

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=3,}$

respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {y'}{x'}}={\frac {3}{8t}},}$

donde ${\displaystyle x'}$ y ${\displaystyle y'}$ se entienden como funciones de t.

• Ecuación paramétrica

• Britton et al. Matemáticas universitarias, tomo I. CECSA, 1971, impreso en México

• Derivative for parametric form en PlanetMath.
• Simmons, Bruce (2011). «Parametric derivative formulas». Mathwords (en inglés). Consultado el 1 de febrero de 2016.