Derivada de una función en forma paramétrica
Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».
Primera derivada
Sean e las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:
donde la notación indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:
o en otras palabras
Formalmente, mediante la regla de la cadena;
y dividiendo ambos miembros por se obtiene la ecuación de arriba.
Segunda derivada
La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por
mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.
Ejemplo
Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:
y
Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que
y
respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene
donde y se entienden como funciones de t.
Véase también
Referencias
- Britton et al. Matemáticas universitarias, tomo I. CECSA, 1971, impreso en México
Enlaces externos
- Derivative for parametric form en PlanetMath.
- Simmons, Bruce (2011). «Parametric derivative formulas». Mathwords (en inglés). Consultado el 1 de febrero de 2016.
Datos: Q7135225