Carta (matemática)

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Dado ${\displaystyle M_{}^{}}$ un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión ${\displaystyle m_{}^{}}$ en ${\displaystyle M_{}^{}}$ a un par ${\displaystyle (U,\Phi _{}^{})}$ tal que la aplicación ${\displaystyle \Phi :U={\stackrel {\circ }{U}}\subset M\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ cumpla que ${\displaystyle \Phi _{}^{}(U)}$ sea un abierto y ${\displaystyle \Phi _{}^{}}$ sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

• Diremos que ${\displaystyle U_{}^{}}$ es un abierto coordenado.
• Si ${\displaystyle p\in U}$, diremos que ${\displaystyle U_{}^{}}$ es un entorno coordenado de ${\displaystyle p_{}^{}}$.

• Si ${\displaystyle \Phi (p)=0_{}^{}}$, diremos que la carta está centrada en ${\displaystyle p_{}^{}}$.

1) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ podemos ver que ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})}$ es carta ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n>0}$.

2) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ pordemos ver que ${\displaystyle ((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )}$ es carta ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :a<b}$.

3) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ podemos ver que ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})}$ es carta, también lo es ${\displaystyle x^{2n+1}\forall n>1}$.

Demostración:

${\displaystyle \mathbb {R} }$ es espacio topológico, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}}$, luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} }$ podemos ver que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\phi )}$ es carta para:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}}$.

5) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} }$ podemos ver que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\psi )}$ es carta para:

la proyección estereográfica ${\displaystyle {\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}}}\end{matrix}}}$.

6) Si ${\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ podemos ver que ${\displaystyle (S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\phi )}$ es carta para:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}}$.

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