Álgebra del espacio físico

En física, el álgebra del espacio físico (AEF) es el Clifford o álgebra geométrica ${\displaystyle Cl_{3}}$ del Espacio euclídeo tridimensional, con énfasis en su estructura paravectorial.

El álgebra de Clifford Cl₃ tiene una representación fiel, generada por las matrices de Pauli, en la representación de spin C².

El AEF puede ser usada para construir un formalismo compacto, unificado y geométrico para la mecánica tanto clásica como cuántica.

El AEF no debe ser confundida con el álgebra del espaciotiempo, que se ocupa del Álgebra de Clifford Cℓ_1,3(R) del espacio-tiempo de Minkowski cuatridimensional.

En el AEF, la posición en el espaciotiempo está representada como un paravector

${\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},}$

donde el tiempo está dado por la parte escalar ${\displaystyle t=x^{0}}$ con ${\displaystyle c=1}$. En la representación con matrices de Pauli los vectores unitarios de la base son reemplazados por las matrices de Pauli y la parte escalar por la matriz identidad. Esto significa que la representación en matrices de Pauli de la posición en el espaciotiempo es

${\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}$

La cuadrivelocidad es un paravector definido como la derivada respecto al tiempo propio de la posición en el espaciotiempo

${\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}(1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})).}$

Esta expresión puede ser reescrita en una forma más compacta definiendo la velocidad ordinaria como

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})}$

y recordando la definición del factor de Lorentz, con lo que la cuadrivelocidad se convierte en

${\displaystyle u=\gamma (1+\mathbf {v} )}$

La cuadrivelocidad es un paravector unimodular, lo que implica la siguiente condición en términos de la conjugación de Clifford

${\displaystyle u{\bar {u}}=1}$

La cuadrivelocidad se transforma bajo la acción del rotor de Lorentz ${\displaystyle L}$ como

${\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}$

Las transformaciones restringidas de Lorentz que preservan la dirección del tiempo e incluyen rotaciones y boosts pueden ser representadas por una exponenciación del biparavector rotación espaciotemporal ${\displaystyle W}$

${\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}}$

En la representación de matrices el rotor de Lorentz forma un ejemplo del grupo SL(2,C), que es el doble recubriemiento del grupo de Lorentz. La unimodularidad del rotor de Lorentz se traslada a la siguiente condición en términos del producto del rotor de Lorentz con su conjugado de Clifford

${\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1}$

Este rotor de Lorentz puede siempre ser descompuesto en dos factores, uno hermítico ${\displaystyle B=B^{\dagger }}$, y el otro unitario ${\displaystyle R^{\dagger }=R^{-1}}$, tal que

${\displaystyle L=BR^{\,}}$

El elemento unitario ${\displaystyle R}$ es llamado rotor porque representa las rotaciones y el elemento hermítico ${\displaystyle B}$ es llamado boost.

El cuadrimomentum en el AEF puede ser obtenido multiplicando la cuadrivelocidad con la masa

${\displaystyle p=mu^{\,},}$

con módulo

${\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}}$

El campo electromagnético está representado por un bi-paravector ${\displaystyle F}$, con la parte hermítica representando el campo eléctrico y la antihermítica representando el campo magnético. En la representacio de matrices de Pauli estándar, el campo electromagnético es

${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} \rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}}$

El campo electromagnético se obtiene del paravector potencial ${\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} }$ como

${\displaystyle F=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}.}$

y el campo electromagnético es invariante bajo una transformación gauge de la forma

${\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi ,}$

donde ${\displaystyle \chi }$ es una función escalar.

El campo electromagnético es covariante bajo transformaciones de Lorentz según la ley

${\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}}$

Las ecuaciones de Maxwell pueden ser expresadad en una sola ecuación como sigue

${\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}},}$

donde la barra superior representa the conjugación de Clifford y la cuadricorriente está definida como

${\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} .}$

El lagrangiano electromagnético es

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S},}$

que es evidentemente un escalar invariante.

La ecuación de la fuerza de Lorentz toma la forma

${\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}}$

La ecuación de Dirac toma la forma

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger }}$,

donde ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ es un vector unitario arbitrario y ${\displaystyle A}$ es el paravector potencial que incluye el potencial vector magnético y el potencial escalar eléctrico.

La ecuación diferencial del rotor de Lorentz que es consistente con la fuerza de Lorentz es

${\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}$

de forma que la cuadrivelocidad se calcula como la transformación de Lorentz de la cuadrivelocidad en reposo

${\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}$

la cual puede ser integrada para encontrar la trayectoria en el espaciotiempo.

• Paravector
• Multivector

• Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
• W. E. Baylis, editor, Clifford (Geometric) Álgebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhäuser, Boston 1996.
• Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press (2003)
• David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)

• Baylis, William (2002). Relativity in Introductory Physics, Can. J. Phys. 82 (11), 853--873 (2004). (ArXiv:physics/0406158)
• W. E. Baylis and G. Jones, The Pauli-Algebra Approach to Special Relativity, J. Phys. A22, 1-16 (1989)
• W. E. Baylis, Classical eigenspinors and the Dirac equation , Phys Rev. A, Vol 45, number 7 (1992)
• W. E. Baylis, Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach , Phys Rev. A, Vol 60, number 2 (1999)