Chi-Verteilung
Die Chi-Verteilung bzw. -Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade . Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.
Definition
Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
heißt chi-verteilt mit Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter .[1] Dabei bezeichnet die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden.
Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter definiert.[2]
Eigenschaften
- Wenn Chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden ist, dann ist Chi-verteilt mit Freiheitsgraden.
- Wenn Chi-verteilt mit Freiheitsgraden ist, dann ist Chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden.
- sei Chi-verteilt mit Freiheitsgraden, dann gilt , der Erwartungswert ist
- und die Varianz ist
- [3]
- Wenn standardnormalverteilt ist, dann ist Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.
Beispiele
- Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).[4][5]
- Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
- Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
- Wenn standardnormalverteilt ist, dann ist die auf gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.
Literatur
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, Kap. 18 Chi-Square Distributions, Including Chi and Rayleigh, S. 415–493.
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, χ-Verteilung (χ-distribution), S. 58.
- Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 322, Nr. 1.
Einzelnachweise
- ↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 417.
- ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik. S. 58.
- ↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 421.
- ↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 305, Nr. 10.
- ↑ Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, S. 156.