歐拉數 命名 名稱 納皮爾常數 識別 種類 無理數 超越數 發現 雅各布·伯努利 符號 e {\displaystyle e} 位數 數列編號 A001113性質 定義 e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} e = lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t {\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}} 連分數 (線性表示)[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] 以此為根的多項式或函數 ∫ 1 x d t t = 1 {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1} 表示方式 值 2.7182818284 無窮級數 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} 二进制 10.10110111 1110 0001 0101 0001 … [ 1] 八进制 2.55760521 3050 5355 1246 5277 … [ 2] 十进制 2.71828182 8459 0452 3536 0287 … 十二进制 2.87523606 9821 9BA7 1971 009B … [ 3] 十六进制 2.B7E15162 8AED 2A6A BF71 5880 … [ 4] 六十进制 2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55… e {\displaystyle e} 是使在 x = 0 {\displaystyle x=0} 点上 f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} (蓝色曲线)的导数 (切线的斜率 )值为1之 a {\displaystyle a} 的唯一值。对比一下,函数 2 x {\displaystyle 2^{x}} (虚点曲线)和 4 x {\displaystyle 4^{x}} (虚线曲线)和斜率为1、y -截距为1的直线(红色)并不相切。 e {\displaystyle e} ,亦称自然常数 、自然底数 ,或是歐拉數 (Euler's number ),是無理數 的數學常數 ,以瑞士數學家歐拉 命名;還有個較少見的名字納皮爾常數 ,用來紀念蘇格蘭 數學家約翰·納皮爾 引進對數 。它是一个无限不循环小数,數值約是(小數點後20位, A001113 ):
e = 2.71828182845904523536 ⋯ {\displaystyle e=2.71828182845904523536\cdots } ,近似值為 271801 99990 {\displaystyle {\frac {271801}{99990}}} 。 有許多的函數都和 e {\displaystyle e} 有關:自然對數函數 的底數即為 e {\displaystyle e} ,數學中的指数函数 也常是指以 e {\displaystyle e} 為底數的指数函数。
歷史 約翰·納皮爾於1618年出版的對數 著作附錄中的一張表中第一次提到常數 e {\displaystyle e} ,但它沒有記錄這常數 ,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為這是由威廉·奧特雷德 製作的。第一次把 e {\displaystyle e} 看為常數的是雅各布·伯努利 ,他嘗試計算下式的值:
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} 上式代表把1與無窮小 相加,再自乘無窮 多次。
已知的第一次用到常數 e {\displaystyle e} ,是萊布尼茨 於1690年和1691年給惠更斯 的通信,以 b {\displaystyle b} 表示。1727年歐拉 開始用 e {\displaystyle e} 來表示這常數;而 e {\displaystyle e} 第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica )。雖然往後年日有研究者用字母 c {\displaystyle c} 表示,但 e {\displaystyle e} 較常用,終於成為標準。
用 e {\displaystyle e} 表示的原因確實不明,但可能因為 e {\displaystyle e} 是指數函數 (exponential )一字的首字母。另一看法則稱 a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 有其他經常用途,而 e {\displaystyle e} 是第一個可用字母。
定義 就像圓周率 π {\displaystyle \pi } 和虛數單位i , e {\displaystyle e} 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。
定義 e {\displaystyle e} 爲下列極限值: e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} e = lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t {\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}} 定義 e {\displaystyle e} 爲階乘倒數 之無窮級數 的和[ 5] : e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots } 其中 n ! {\displaystyle n!} 代表 n {\displaystyle n} 的階乘 。 定義 e {\displaystyle e} 爲唯一的正數 x {\displaystyle x} 使得 ∫ 1 x d t t = 1 {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1} 定義 e {\displaystyle e} 爲唯一的實數 x {\displaystyle x} 使得 lim h → 0 x h − 1 h = 1 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1} 這些定義可證明是等價的,请参见文章指数函数的特征描述 (英语 : Characterizations of the exponential function ) 。
性質 x x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} 的極大值在 x = e {\displaystyle x=e} . 很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 e x {\displaystyle e^{x}} 的重要性在於,唯独该函數(或其常數倍,即 x ↦ k e x {\displaystyle x\mapsto ke^{x}} ,其中 k {\displaystyle k} 為任意常數)與自身導數 相等。即:
d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} 。 e x {\displaystyle e^{x}} 的泰勒級數 為 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ∀ x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x} = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . {\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...} x {\displaystyle x} 為複數時依然成立,因此根據 sin x {\displaystyle \sin x} 及 cos x {\displaystyle \cos x} 的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式 的重要等式:
e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x} 當 x = π {\displaystyle x=\pi } 的特例是歐拉恆等式 :
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0} 此式被理查德·費曼 稱為「歐拉的寶石」。
( cos x + i sin x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)} 即棣莫弗公式 。
e {\displaystyle e} 是無理數 和超越數 (見林德曼-魏尔斯特拉斯定理 )。這是第一個獲證為超越數的数,而非故意構造的(比較劉維爾數 );由夏爾·埃爾米特 (Charles Hermite )於1873年證明。有猜想它為正規數 。 当 x = e {\displaystyle x=e} 时函數 f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}} 有最大值。 e {\displaystyle e} 的無窮連分數 展開式有個有趣的模式,可以表示如下( A003417 ) e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , 1 , 12 , … ] {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]} 就像以下的展開式:
e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}
無理數證明 證明 e {\displaystyle e} 是無理數可以用反證法 。假設 e {\displaystyle e} 是有理數 ,則可以表示成 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} ,其中 a , b {\displaystyle a,b} 為正整數。以 e {\displaystyle e} 的無窮級數展開式可以得出矛盾。
考慮數字
x = b ! ( e − ∑ i = 0 b 1 i ! ) {\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)} , 以下將推導出 x {\displaystyle x} 是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證 e {\displaystyle e} 是無理數。
x {\displaystyle x} 是整數,因為 0 < x = b ! ( e − ∑ i = 0 b 1 i ! ) = b ! ( a b − ∑ i = 0 b 1 i ! ) {\displaystyle 0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)} = a ( b − 1 ) ! − ∑ i = 0 b b ! i ! {\displaystyle =a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}} = a ( b − 1 ) ! − [ 1 + ∑ n = 0 b − 1 b ( b − 1 ) ⋯ ( n + 1 ) ] {\displaystyle =a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]} 。 x {\displaystyle x} 是小於1的正數,因為 0 < x = b ! ∑ n = b + 1 ∞ 1 n ! {\displaystyle 0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}} = 1 b + 1 + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) ( b + 3 ) + ⋯ {\displaystyle ={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots } < 1 b + 1 + 1 ( b + 1 ) 2 + 1 ( b + 1 ) 3 + ⋯ = 1 b ≤ 1 {\displaystyle <{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1} 。 但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出 e {\displaystyle e} 為無理數。
二項式定理 視 n {\displaystyle n} 為存在的數值,所以用二項式定理 可證出:
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} = lim n → ∞ ∑ i = 0 n C i n 1 n − i ( 1 n ) i {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}} = lim n → ∞ [ C 0 n 1 n ( 1 n ) 0 + C 1 n 1 n − 1 ( 1 n ) 1 + C 2 n 1 n − 2 ( 1 n ) 2 + C 3 n 1 n − 3 ( 1 n ) 3 + . . . + C n n 1 0 ( 1 n ) n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]} = lim n → ∞ [ 1 × 1 + n × 1 n + n ! ( n − 2 ) ! 2 ! × 1 n 2 + n ! ( n − 3 ) ! 3 ! × 1 n 3 + . . . + 1 × 1 n n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]} = lim n → ∞ [ 1 + 1 + n × ( n − 1 ) 2 n 2 + n × ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 × 2 n 3 + . . . + 1 n n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]} = 2 + 1 2 + 1 6 + . . . {\displaystyle =2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...} = 2.71828... {\displaystyle =2.71828...}
已知位数 e {\displaystyle e} 的已知位数[ 6] [ 7] 日期 位数 计算者 1748年 18 李昂哈德·歐拉 1853年 137 William Shanks 1871年 205 William Shanks 1884年 346 J. M. Boorman 1946年 808 ? 1949年 2,010 約翰·馮·諾伊曼 1961年 100,265 Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇 1978年 116,000 史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克 1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell 1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel 1997年8月 20,000,000 Birger Seifert 1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel 1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski 1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski 1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon 2000年7月10日 2,147,483,648 近藤茂、Xavier Gourdon 2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin、Xavier Gourdon 2000年8月2日 6,442,450,944 近藤茂、Xavier Gourdon 2000年8月16日 12,884,901,000 近藤茂、Xavier Gourdon 2003年8月21日 25,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon 2003年9月18日 50,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon 2007年4月27日 100,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo 2009年5月6日 200,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo 2010年2月21日 500,000,000,000 余智恒(Alexander J. Yee) 2010年7月5日 1,000,000,000,000 近藤茂、余智恒(Alexander J. Yee) 2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale
諧取 在Google 2004年的首次公開募股 ,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的 e {\displaystyle e} 十億美元 。Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,与圆周率 有关。 Google 也是首先在矽谷 心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e }.com(在 e {\displaystyle e} 的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個 e {\displaystyle e} 中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。 著名電腦科學家 高德納 的软件Metafont 的軟體版本號 趨向 e {\displaystyle e} (就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),与之相对的有TeX 的軟體版本號 号是趋向于圆周率 的。
参见
参考文献 ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004593 (Expansion of e in base 2). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004599 (Expansion of e in base 8). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A027606 (e in duodecimal). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A170873 (Hexadecimal expansion of e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation. ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语) 142.D ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation (页面存档备份,存于互联网档案馆 ) ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast (页面存档备份,存于互联网档案馆 )