Böhmer積分

在數學中，Böhmer積分是一種特殊的積分

C ( x , α ) = ∫ x ∞ t α − 1 cos ⁡ ( t ) d t {\displaystyle \displaystyle C(x,\alpha )=\int _{x}^{\infty }t^{\alpha -1}\cos(t)\,dt}
S ( x , α ) = ∫ x ∞ t α − 1 sin ⁡ ( t ) d t {\displaystyle \displaystyle S(x,\alpha )=\int _{x}^{\infty }t^{\alpha -1}\sin(t)\,dt}

因此，菲涅耳积分可以用 Böhmer 积分表示为

S ⁡ ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ S ⁡ ( 1 2 , y 2 ) {\displaystyle \operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)}
C ⁡ ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ C ⁡ ( 1 2 , y 2 ) {\displaystyle \operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)}

正弦积分和余弦积分也可以用 Böhmer 积分表示

Si ⁡ ( x ) = π 2 − S ⁡ ( x , 0 ) {\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)}
Ci ⁡ ( x ) = π 2 − C ⁡ ( x , 0 ) {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)}

参考

  • Böhmer, Paul Eugen. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale.. Leipzig, K. F. Koehler Verlag. 1939 [2022-04-10]. （原始内容存档于2022-04-10） （德语）. 
  • Oldham, Keith B.; Myland, Jan; Spanier, Jerome. An Atlas of Functions. Springer Science & Business Media. 2010: 401 [2022-04-10]. （原始内容存档于2022-04-10）.