Q-символ Похгаммера
Q-символ Похгаммера, який називають також зсунутим q-факторіалом[1][2] — q-аналог символу Похгаммера і визначається він як
- ,
при цьому
за визначенням. Q-символ Похгаммера є головним будівельним блоком у побудові q-аналогів. Наприклад, у теорії базисних гіпергеометричних рядів[en] q-символ Похгаммера відіграє роль, як і звичайний символ Похгаммера в теорії узагальнених гіпергеометричних рядів[en].
На відміну від звичайного символу Похгаммера, q-символ Похгаммера можна розширити до нескінченного добутку:
Це аналітична функція від q всередині одиничного кола і може сприйматися як формальний степеневий ряд від q. Окремий випадок
відомий як функція Ейлера[en] і грає важливу роль в комбінаториці, теорії чисел і теорії модулярних форм .
Тотожності
Скінченний добуток можна виразити через нескінченний:
що розширює визначення для від'ємних цілих n. Таким чином, для невід'ємного n маємо
і
Q-символ Похгаммера бере участь у багатьох тотожностях з q-рядами, зокрема в нескінченному розширенні рядів
і
- ,
які є окремими випадками q-біноміальної теореми:
Фрідріх Карпелевич[ru] знайшов таку тотожність (див. доведення в статті Ольшанецького і Рогова[3]):
Комбінаторна інтерпретація
Q-символ Похгаммера тісно пов'язаний з нумераційною комбінаторикою розбиттів. Коефіцієнт при в
дорівнює числу розбиттів m на не більше ніж n частин.
Оскільки це те ж саме, що розбиття m на частини, кожна з яких не перевищує n, отримуємо таку тотожність:
- ,
як в розділі вище.
Коефіцієнт при в
дорівнює числу розбиттів числа m на n або n -1 різних частин.
Якщо видалити трикутне розбиття з n — 1 частинами з такого розбиття, ми залишимося з деяким розбивкою на не більше ніж n частин. Це дає бієкцію зі збереженням ваги між множиною розбиттів на n або n — 1 різних частин і множиною пар, що складаються з трикутного розбиття, яке містить n — 1 частин, і розбиття на не більше ніж n частин. Це приводить до тотожності:
також описану вище. Обернена (в сенсі 1/f) функція для виникає аналогічним чином як твірна функція для функції розбиття числа, , яка також розкладається в такі два q-ряди[4]:
Q-біноміальна теорема саму можна довести за допомогою трохи більшого використання схожих комбінаторних аргументів.
Домовленість про множинні аргументи
Оскільки в тотожностях, що використовують q-символ Похгаммера, часто використовується добуток багатьох символів, домовились записувати добуток у вигляді одного символу з декількома аргументами:
Q-ряди
Q -ряд — це ряд, у якому коефіцієнти є функціями від q, зазвичай у вигляді виразів з [4]. Ранні результати належать Ейлеру, Гауссу і Коші. Систематичне вивчення почав Едуард Гейне (1843)[5].
Зв'язок з іншими q-функціями
ми визначаємо q-аналог числа n, відомий також як q-дужка або q-число числа n, рівним
Звідси ми можемо визначити q-аналог факторіала, q-факторіал
Знову можна виявити, що звичайний факторіал дорівнює границі при q, яке прямує до 1. Це можна інтерпретувати як число прапорів у n-вимірному векторному просторі над полем з q елементами, а перехід q в границі до 1 дає інтерпретацію упорядкування як прапора у векторному просторі над полем з одним елементом[en].
Добуток від'ємних цілих q-дужок можна виразити в термінах q-факторіала так:
Від q-факторіалів можна перейти до визначення q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гауссові коефіцієнти, гауссові многочлени або гауссові біноміальні коефіцієнти, в такий спосіб
звідки легко бачити, що трикутник цих коефіцієнтів симетричний у тому сенсі, що для всіх .
Можна показати, що
З наведених вище рекурсивних відношень можна помітити, що такі варіанти -біноміальної теореми є розширеннями в термінах цих коефіцієнтів[6]:
Можна отримати q-аналог гамма-функції, званий q-гамма-функцією[en] і визначений як
Функція збігається до звичайної гамма-функції при q, яке прямує до 1 зсередини диска. Зауважимо, що
для будь-якого x і
для невід'ємних цілих значень n. Альтернативно, функцію можна взяти як розширення q-факторіала в системі дійсних чисел.
Див. також
- Базисні гіпергеометричні ряди[en]
- Еліптична гамма-функція[en]
- Тета-функція Якобі
- Символ Похгаммера
- q-похідна
- q-тета-функція[en]
- Теорема про п'ятикутні числа[en]
- Тотожності Роджерса — Рамануджана[en]
- Неперервний дріб Роджерса — Рамануджана[en]
- q-тотожність Вандермонда[en]
Примітки
- ↑ Koekoek, Swarttouw, 1998, с. 7.
- ↑ Бахтин, 2017, с. 6-7лера.
- ↑ Ольшанецкий, Рогов, 1996.
- ↑ а б Berndt, 2010.
- ↑ Heine, 1847.
- ↑ Olver и др., 2010, с. 421.
Література
- Koekoek R., Swarttouw R. F. The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its -Analogue // Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17. — Delft, Netherlands : Technische Universiteit Delft, 1998. — С. 7.
- Бахтин А.Б. [1] — Москва, 2017. — С. 6-7. — (препринты ИПМ им. М.В.Келдыша) Архівовано з джерела 23 січня 2022
- George Gasper, Mizan Rahman. Basic Hypergeometric Series // Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. — 2nd. — Cambridge : Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — ISBN 0-521-83357-4.
- Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues. Архівовано з джерела 21 квітня 2021. Процитовано 28 травня 2021.
- Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York, Chichester : Halstead Press, Ellis Horwood, 1983. — ISBN 0853124914.
- Ольшанецкий М.А., Рогов В.-Б.К. Модифицированные q-функции Бесселя и q-функции Макдональда // Матем. сб.. — 1996. — Т. 187, № 10 (1 вересня). — С. 109-128.
- [2] / Frank W. J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Section 17.2 : NIST, Cambridge University Press, 2010. — С. 421. — ISBN 978-0-521-19225-5. Архівовано з джерела 9 вересня 2010
- Berndt B. C. Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009 / N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds.. — Mysore : Ramanujan Mathematical Society, 2010. — 1 вересня. — С. 31-51. Архівовано з джерела 13 грудня 2016. Процитовано 28 травня 2021.
- Heine E. Untersuchungen über die Reihe // J. Reine Angew. Math.. — 1847. — Т. 34 (1 вересня). — С. 285-328.
Посилання
- Weisstein, Eric W. q-аналог(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-дужка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-факторіал(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-ряди(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-біноміальний коефіцієнт(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.