Функтор Hom
В теорії категорій множини Hom (тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин. Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших галузях математики.
Означення
Нехай C — локально мала категорія. Тоді для будь-яких її об'єктів A, B визначено такі два функтора:
Hom(A,–) : C → Set | Hom(–,B) : C → Set |
---|---|
Коваріантний функтор, що задається як:
| Контраваріантний функтор, що задається як:
|
Функтор Hom(-,B) також називають функтором точок об'єкта B.
Функтори Hom(A,–) і Hom(–,B) пов'язані між собою у натуральний спосіб. Для будь-якої пари морфізмів f : B → B′ і h : A′ → A діаграма нижче комутує:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/320px-Hom_functor.svg.png)
В обох випадках g : A → B переводиться у f ∘ g ∘ h.
Також можна визначити біфунктор Hom(-, -) з C×C в Set, контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або, еквівалентно, функтор
- Hom (-, -): Cop × C → Set
де Cop — двоїста категорія до C.
Внутрішній функтор Hom
У деяких категоріях можна ввести функтор, який схожий з функтором Hom, але значення якого лежать в самій категорії. Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають
Категорії, що допускають внутрішній Hom-функтор, називаються замкнутими категоріями. Функтор в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній. Точніше,
де позначає натуральний ізоморфізм, натуральний за обома «аргументами». Оскільки в замкнутій категорії (тут I — одиниця замкнутої категорії), це можна переписати як
У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу, тобто ізоморфізму
де це .
Пов'язані означення
- Функтор виду Hom (-, C): Cop → Set є передпучком; відповідно, Hom(C, -) можна називати копередпучком.
- Функтор F: C → Set, який є натурально ізоморфним Hom (X, -) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором.
- Hom (-, -): Cop×C → Set є профунктором, а саме тотожним профунктором .
- Внутрішній функтор hom зберігає границі; а саме, переводить границі в границі, а — границі в кограниці. У певному сенсі, це можна вважати визначенням границі або кограниці.
- Функтор Hom — приклад точного зліва функтора.
Див. також
Література
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва: Мир, 1972. 259 с.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — Москва: Наука, 1974.
- Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.