Potansiyel kuyusu

Potansiyel kuyusu, bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel,

V ( x ) = { 0 , 0 < x < a ∞ , diger  {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&0<x<a\\\infty ,&{\mbox{diger }}\end{cases}}}

şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:

d 2 ψ d x 2 = − 2 m E ℏ 2 ψ {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi }

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0  , (I) {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+k^{2}\psi =0{\mbox{ , (I)}}}

k 2 = 2 m E ℏ 2  , (II) {\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}{\mbox{ , (II)}}}

(I) {\displaystyle {\mbox{(I)}}\,} denklemin çözümü ise ψ ic ( x ) = A sin ⁡ ( k x ) + B cos ⁡ ( k x ) {\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,} olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil eden dalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarıda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışarıdaki dalga fonksiyonu ψ dis ( x ) = 0 {\displaystyle {\psi }_{\mbox{dis}}(x)=0\,} olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.

  • ψ ic ( 0 ) = ψ dis ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(0)={\psi }_{\mbox{dis}}(0)=0\,}

A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = 0    ,  B = 0 {\displaystyle A\sin 0+B\cos 0=0\ {\mbox{ , }}B=0\,}

ψ ic ( x ) = A sin ⁡ ( k x ) {\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(x)=A\sin(kx)\,}

  • ψ ic ( a ) = ψ dis ( a ) = 0 {\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(a)={\psi }_{\mbox{dis}}(a)=0\,}

A sin ⁡ ( k a ) = 0 {\displaystyle A\sin(ka)=0\,}

A ≠ 0  ,  {\displaystyle A\neq 0{\mbox{ , }}} sin ⁡ ( k a ) = 0 {\displaystyle \sin(ka)=0\,}

k a = n π    ,  k = n π a {\displaystyle ka=n\pi \ {\mbox{ , }}k={\frac {n\pi }{a}}}

(II) {\displaystyle {\mbox{(II)}}\,} denklemi ile karşılaştırılırsa

2 m E ℏ 2 = k 2 = n 2 π 2 a 2 {\displaystyle {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}=k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}

E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2  ,  n = 1 , 2 , 3... {\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\mbox{ , }}n=1,2,3...}

elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleri E 0 = π 2 ℏ 2 2 m a 2 {\displaystyle E_{0}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}} olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır. E n = n 2 E 0  ,  n = 1 , 2 , 3... {\displaystyle E_{n}=n^{2}E_{0}{\mbox{ , }}n=1,2,3...\,}

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.