Jacobi-Anger açılımı

Jacobi-Anger açılımı veya Jacobi-Anger eşitliği, matematikte trigonometrik fonksiyonların harmonikleri temel alınarak yapılan bir üstel açılımdır. Fizikte (örneğin düzlem dalgalar ve silindirik dalgalar arasında dönüşüm) ve sinyal işlemede (FM sinyallerini tanımlamak için) kullanılır. Eşitlik adını 19. yüzyıl matematikçileri Carl Jacobi ve Carl Theodor Anger'den almıştır.

Açılım

En genel halde eşitlik;[1][2]

e i z cos ⁡ θ = ∑ n = − ∞ ∞ i n J n ( z ) e i n θ {\displaystyle e^{iz\cos \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta }}

ve

e i z sin ⁡ θ = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( z ) e i n θ , {\displaystyle e^{iz\sin \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\theta },}

şeklindedir. burada J n ( z ) {\displaystyle J_{n}(z)} n'inci Bessel fonksiyonudur. J − n ( z ) = ( − 1 ) n J n ( z ) , {\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z),} ilişkisi kullanılarak n'inci tam sayı değeri için açılım:[1][2]

e i z cos ⁡ θ = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ i n J n ( z ) cos ( n θ ) . {\displaystyle e^{iz\cos \theta }=J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}

Aşağıdaki reel değerli varyasyonlar da sıkça kullanılır.[3]

cos ⁡ ( z cos ⁡ θ ) = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n J 2 n ( z ) cos ⁡ ( 2 n θ ) , sin ⁡ ( z cos ⁡ θ ) = − 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n J 2 n − 1 ( z ) cos ⁡ [ ( 2 n − 1 ) θ ] , cos ⁡ ( z sin ⁡ θ ) = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) cos ⁡ ( 2 n θ ) , sin ⁡ ( z sin ⁡ θ ) = 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n − 1 ( z ) sin ⁡ [ ( 2 n − 1 ) θ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&=-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&=2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Genel

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., (Ed.) (1965), "Chapter 9", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, s. 355, ISBN 978-0486612720, MR 0167642 
  • Colton, David; Kress, Rainer (1998), Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Applied Mathematical Sciences, 93 (2. bas.), ISBN 978-3-540-62838-5 
  • Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008), Handbook of continued fractions for special functions, Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2 

Özel

  1. ^ a b Colton & Kress (1998) ss. 32.
  2. ^ a b Cuyt et al. (2008) ss. 344.
  3. ^ Abramowitz & Stegun (1965) ss. 361, 9.1.42-45 30 Nisan 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

  • Mathworld.com'da Jacobi-Anger açılımı 21 Kasım 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)