Brahmagupta teoremi

B D ¯ ⊥ A C ¯ , E F ¯ ⊥ B C ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}\perp {\overline {AC}},{\overline {EF}}\perp {\overline {BC}}} ⇒ | A F ¯ | = | F D ¯ | {\displaystyle \Rightarrow |{\overline {AF}}|=|{\overline {FD}}|}

Geometride, Brahmagupta teoremi, eğer bir kirişler dörtgeni ortodiyagonal ise (yani, dik köşegenlere sahipse), o zaman köşegenlerin kesişme noktasından bir kenara çizilen dikmenin karşı kenarı daima ikiye böldüğünü belirtir.[1] Adını Hint matematikçi Brahmagupta'dan (598-668) almıştır.[2]

Teoremin açıklaması

Daha spesifik olarak, A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ve D {\displaystyle D} , A C {\displaystyle AC} ve B D {\displaystyle BD} doğrularının dik olacağı şekilde bir daire üzerinde dört nokta olsun. A C {\displaystyle AC} ve B D {\displaystyle BD} 'nin kesişme noktasını M {\displaystyle M} ile gösterilsin. ' M {\displaystyle M} den B C {\displaystyle BC} doğrusuna dik çizilsin ve E {\displaystyle E} kesişme noktasına gelsin. F {\displaystyle F} , E M {\displaystyle EM} doğrusu ile A D {\displaystyle AD} kenarının kesişim noktası olsun. Daha sonra teorem, F {\displaystyle F} 'nin A D {\displaystyle AD} doğru parçasının orta noktası olduğunu belirtir.

Teoremin ispatı[1]

Teoremin kanıtı.

A F = F D {\displaystyle AF=FD} olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Biz A F {\displaystyle AF} ve F D {\displaystyle FD} 'nin aslında F M {\displaystyle FM} 'ye eşit olduklarını ispat edeceğiz.

A F = F M {\displaystyle AF=FM} olduğunu kanıtlamak için, önce ∠ F A M {\displaystyle \angle FAM} ve ∠ C B M {\displaystyle \angle CBM} açılarının eşit olduğuna dikkat edin, çünkü bunlar dairenin aynı yayını gören çevre açılardır. Ayrıca, ∠ C B M {\displaystyle \angle CBM} ve ∠ C M E {\displaystyle \angle CME} açılarının her ikisi de ∠ B C M {\displaystyle \angle BCM} açısına tamamlayıcıdır (yani toplamları 90°'ye eşittir) ve bu nedenle her iki açı eşittirler. Son olarak, ∠ C M E {\displaystyle \angle CME} ve ∠ F M A {\displaystyle \angle FMA} açıları aynıdır. Dolayısıyla, △ A F M {\displaystyle \triangle AFM} bir ikizkenar üçgendir ve dolayısıyla A F {\displaystyle AF} ve F M {\displaystyle FM} kenarları eşittir.

F D = F M {\displaystyle FD=FM} 'nin benzer şekilde gittiğinin kanıtı: ∠ F D M {\displaystyle \angle FDM} , ∠ B C M {\displaystyle \angle BCM} , ∠ B M E {\displaystyle \angle BME} ve ∠ D M F {\displaystyle \angle DMF} açılarının tümü eşittir, bu nedenle △ D F M {\displaystyle \triangle DFM} bir ikizkenar üçgendir, dolayısıyla F D = F M {\displaystyle FD=FM} 'dir. Buradan teoremin iddia ettiği gibi A F = F D {\displaystyle AF=FD} olduğu görülebilir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ a b Bradley, Michael (2006). The birth of mathematics : ancient times to 1300. New York: Infobase Publishing. ss. 70, 85. ISBN 0-8160-5423-1. OCLC 62152830. 
  2. ^ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, Samuel L. (1967). Geometry Revisited (PDF). 19. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. s. 59. ISBN 0-88385-619-0. 23 Ocak 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 4 Şubat 2021. 

Dış bağlantılar ve ilave okumalar

  • Brahmagupta teoremi 17 Şubat 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Proofwiki
  • Brahmagupta Teoremi 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Cut-the-Knot
  • Eric W. Weisstein, Brahmagupta's theorem (MathWorld)
  • Murthy, M. N. (2019). Brahmagupta’s theorem. At Right Angles, (5), 27.
  • Kaye, G. R. (1919). Indian mathematics. Isis, 2(2), ss. 326-356.
  • Dvorožňák, Marek & Pech, Pavel. (2009), Brahmagupta’s Theorem Automatic Computer Proof
  • Askey R. (2010) Completing Brahmagupta’s Extension of Ptolemy’s Theorem. In: Alladi K., Klauder J., Rao C. (eds) The Legacy of Alladi Ramakrishnan in the Mathematical Sciences. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6263-8_11
  • Dashrath Kumar & Dr. Mrityunjay JhaA, (2019), Critical Study of Brahmagupta’s Theorems on Cyclic Quadrilateral 10 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., JETIR, March 2019, Volume 6, Issue 3, ISSN 2349-5162, ss. 383-384
  • Richeson, A. (1930). An Extension of Brahmagupta's Theorem. American Journal of Mathematics, 52(2), ss. 425-438. doi:10.2307/2370695