Tor-funktorn

Inom homologisk algebra är Tor-funktorn härledda funktorerna av tensorprodukt-funktorn.

Egenskaper

  • För alla n ≥ 1 är TorRn en additiv funktor från Mod-R × R-Mod till Ab.
  • Varje kort exakt följd 0 → K → L → M → 0 ger upphov till en lång exakt följd av formen
⋯ → T o r 2 R ( M , B ) → T o r 1 R ( K , B ) → T o r 1 R ( L , B ) → T o r 1 R ( M , B ) → K ⊗ B → L ⊗ B → M ⊗ B → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{2}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,B)\rightarrow K\otimes B\rightarrow L\otimes B\rightarrow M\otimes B\rightarrow 0} .
  • TorZn(A,B) = 0 för alla n ≥ 2.
  • Om F är en fri R-modul är TorRn(F,B) = 0 för alla n ≥ 1.
  • T o r n R ( ⨁ i A i , ⨁ j B j ) ≃ ⨁ i ⨁ j T o r n R ( A i , B j ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j}\right)\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})}

Se även

  • Ext-funktorn

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Tor functor, 20 februari 2014.
  • Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, "38", Cambridge University Press, MR 1269324, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259