Subgradient

Subgradient är ett matematiskt begrepp som generaliserar derivata och gradient till funktioner som inte är deriverbara. Begreppet används mycket inom konvex optimering.

En subgradient till en konvex funktion f i punkten ${\displaystyle x_{0}}$ är en vektor ${\displaystyle g}$ så att

${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+g^{\mathrm {T} }(x-x_{0})}$,

för alla vektorer ${\displaystyle x}$.

På samma sätt definieras en supergradient till konkava funktioner:

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+g^{\mathrm {T} }(x-x_{0})}$.

Om f är differentierbar i ${\displaystyle x_{0}}$ finns bara en subgradient i ${\displaystyle x_{0}}$, nämligen ${\displaystyle \nabla f(x_{0})}$.

Funktionen

${\displaystyle f(x)=|x|\,}$

är deriverbar överallt utom för ${\displaystyle x=0}$. I punkten ${\displaystyle x=0}$ är alla tal i intervallet ${\displaystyle [-1,1]}$ subgradienter till ${\displaystyle f}$. Detta eftersom alla linjer som går igenom ${\displaystyle (0,0)}$ och har en lutning mellan -1 och 1 ligger helt under funktionskurvan.

• Boyd och Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press 2006