Stirlings formel
Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Den används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝1023, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Formeln kan skrivas
vilket ofta uttrycks som
(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 1032 medan det verkliga värdet är 2,6525 · 1032.
Formeln kan även uttryckas som
eller om n >> ln n,
Konsekvenser
Genom att använda Stirlings formel kan man visa att
Konvergenshastighet och feluppskattningar
Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln
där Θ(1/n) betecknar en funktion vars asymptotiska beteende för n→∞ motsvarar en konstant multiplicerad med 1/n; se Ordo.
Eller mer exakt:
där
Härledning
Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form
(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral: .)
Historia
Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen
Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är .
Se även
- Fakultet
- Gammafunktionen
Referenser
- Torbjörn Tambour (2003). ”Stirlings formel”. Arkiverad från originalet den 6 augusti 2004. https://web.archive.org/web/20040806035636/http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Stirling.pdf.
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Stirlings formel.
Bilder & media