Riemann-Stieltjes integral, även kallad Stieltjesintegral, är inom matematisk analys en speciell integral, som kan ses som en generalisering av Riemannintegralen, uppkallad efter matematikern Thomas Joannes Stieltjes. Vid vanlig Riemannintegrering integrerar man med hänsyn till
-axeln, men vid Riemann-Stieltjes-integrering integrerar man med hänsyn till en annan funktion.
Definition och existens
Konstruktion av integralen
Ett intervall av reella tal kallat
kan delas in i flera delintervall med en partition,
, som består av ändligt många punkter
sådana att
.
För två begränsade funktioner på intervallet,
och
inför vi differensoperatorn:
.
Då
är begränsad på
kan vi hitta ett supremum respektive infimum för funktionsvärdena på dessa intervall och inför beteckningarna:
![{\displaystyle M_{k}=\sup f(x)~~~(x_{k-1}\leq x\leq x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e205472c7879204897d63b1942e3b1ea0fab779)
![{\displaystyle m_{k}=\inf f(x)~~~~(x_{k-1}\leq x\leq x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51735989f20fd20e856675eaa40f8d5f53016147)
Vi får nu två summor, beroende på partitionen
och funktionerna
samt
:
![{\displaystyle U(P,f,\alpha )=\sum _{k=1}^{n}M_{k}\Delta \alpha _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faae0a99c34947242ff45edacb7c66570eb55961)
![{\displaystyle L(P,f,\alpha )=\sum _{k=1}^{n}m_{k}\Delta \alpha _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9d5b0d0b5404514ef5e0a99253d516ebc72ae9)
(då
).
Låt vidare
vara mängden av alla partitioner av
och om
![{\displaystyle \inf _{P\in {\mathcal {P}}}U(P,f,\alpha )=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}L(P,f,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3d0242fdbc97984232fea86edf465c5482b4bf)
säger man att integralen existerar, vilket betecknas med
, och betecknar värdet med:
eller
.
Om man väljer
fås den vanliga Riemannintegralen.
Existens med epsilon
om och endast om det för varje
existerar en partition
så att
.
Egenskaper
För strängt ökande
och
och
har integralen följande egenskaper:
och
.
och
. - Om
är
. - Om
är ![{\displaystyle \int _{a}^{c}f\,d\alpha +\int _{c}^{b}f\,d\alpha =\int _{a}^{b}f\,d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0027374b70406cafe2946886ea4a546e5404f4e)
Om
och
är strängt ökande och
och
och
så:
. ![{\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d(c\alpha )=c\int _{a}^{b}f\,d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1895345e54f64e84f1fa5588142222b8fa48f36a)
Om
även är kontinuerlig på hela
existerar det även
så att:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}fd\alpha =f(c)(\alpha (b)-\alpha (a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf79bf977fb19b3fdbf5eef4b3cddc77e3ec442)
vilket kallas medelvärdesegenskapen.
Om
är strängt ökande och kontinuerlig deriverbar på
och
är
.
Tillämpningar
Riemann-Stieltjes integral kan användas till att räkna ut väntevärdet för en kumulativ fördelningsfunktion med diskret fördelning.