q-Pochhammersymbolen är en q-analogi av Pochhammersymbolen. Den definieras som
![{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46d2065b6578f314f0353ee519c16683dd948b4)
och
![{\displaystyle (a;q)_{0}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e08580648c17926f024546ff8776dc785ce84f)
Q-Pochhammersymbolen är väldigt viktig inom q-analogteori och q-serier.
Identiteter
q-Pochhammersymbolen kan skrivas som en oändlig produkt:
![{\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7f907936f668ccacd8f2ab89d4adb26e421418)
och på det viset definieras för negativa heltal n. Om n är positiv är då
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6962b7e934ccc8f6e7439fc4326f50a46087b054)
och
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6fd993d11429c7f4e525406d37a436ca2cf0f5)
q-Pochhammersymbolen förekommer i flera q-serieidentiteter:
![{\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbc86ea039061834459ae099f74fbeecaea034e)
och
,
som är båda specialfall av q-binomialsatsen:
![{\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fb2953090a36290cb38f81f6b10f339021ece3)
Relation till partitioner
q-Pochhammersymbolen är nära relaterad till kombinatoriska teorin av partitioner. Koefficienten av
i
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ae0b637f83fecb7a0260ae4f92a727527df95a)
är antalet partitioner av m i högst n delar.
Eftersom, genom konjugering av partitioner, är detta samma antalet partitioner av m i delar som är högst n, får vi att genererande funktionerna är identiska:
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bda299284025715f12dc25e7e56ec29574c3564)
som i sektionen ovan.
Relation till andra q-funktioner
Eftersom
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1479ae2de6bc15f3298e1aecfc5d0a36c2a497f1)
kan q-analogin av n definieras som
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02cf663202653dffbcf359ad685442e72a75986)
Med hjälp av det här går det att definiera q-analogin av fakulteten, q-fakulteten, som
| |
| |
| |
| |
| |
Med hjälp av q-fakulteten kan man definiera q-binomialkoefficienterna, även kända som Gaussiska koefficienterna, Gaussiska polynomen samt Gaussiska binomialkoefficienterna, som
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d08aa8f9d495545809fc3f6729674539debeeec)
Man kan lätt kontrollera att
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c703ed28cac4bff7a6fa2585ed03cd5d3c55485b)
q-Analogin av gammafunktionen, q-gammafunktionen, definieras som
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7109799500f0dee8ef0669e7569234d0d8598617)
Den satisfierar identiteterna
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0683192cb3b11390b285a68ece484612d4484286)
för alla x och
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82bc6ea0c740a02bd3378ef4d96fa38a812abe)
för alla icke-negativa heltal n.
Referenser
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Q-Pochhammer symbol, 16 november 2013.