Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:
![{\displaystyle \mu (n)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{om }}p^{2}|n{\mbox{ där }}p{\mbox{ är ett primtal}}\\1&{\mbox{om }}n=1\\(-1)^{k}&{\mbox{om }}n{\mbox{ är en produkt av }}k{\mbox{ distinkta primtal}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f76d74d79dc10f360a47661752c6faccf68da4)
Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen.
Funktionen är uppkallad efter den tyske matematikern August Ferdinand Möbius.
Egenskaper
- För alla
gäller
![{\displaystyle \sum \limits _{d|n}\mu (d)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e18fb82159e0cdf9772382d20513efc537d1a1)
- Möbiusfunktionen kan beräknas med hjälp av formeln
![{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {k}{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176308910dc8984ceeab526e26c100df3e56f81a)
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3901029f78ae31f7e16407b39e553e5e39d890f9)
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97983ff51d4ec8d4f76e47a8508e4cf93773cadc)
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb8945229901ab00bae3c679d612109f4a72bb5)
Genererande funktioner
![{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44321887183e072812ddd22b8ed103e08ced1e0d)
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab0c8742c7f63c8a6f221a08396eb40739f6d09)
Se även
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Möbiusfunktionen.Bilder & media