Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.
De trigonometriska funktionerna för en vinkel θ kan konstrueras geometriskt med hjälp av en enhetscirkel Lista över trigonometriska identiteter är en lista av ekvationer som involverar trigonometriska funktioner och som är sanna för varje enskilt värde av de förekommande variablerna. De skiljer sig från triangelidentiteter, vilka är identiteter som potentiellt involverar vinklar, men även omfattar sidolängder eller andra längder i en triangel. Endast de förstnämnda behandlas i denna artikel. Identiteterna är användbara när uttryck som involverar trigonometriska funktioner måste förenklas. En viktig tillämpning är integration av icke-trigonometriska funktioner: en vanlig teknik är att först göra en substitution med en trigonometrisk funktion och sedan förenkla resultatet med hjälp av en trigonometrisk identitet.
Grundläggande
Funktioner cos ( x ) = sin ( x + π 2 ) {\displaystyle \cos(x)=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)} tan ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) {\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}} cot ( x ) = cos ( x ) sin ( x ) = tan ( π 2 − x ) {\displaystyle \cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=\tan({\frac {\pi }{2}}-x)} sec ( x ) = 1 cos ( x ) {\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}} csc ( x ) = 1 sin ( x ) {\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}
Perioder Sinus, cosinus, sekant och cosekant har perioden 2π. Tangens och cotangens har perioden π. Om k är ett heltal gäller:
sin ( x ) = sin ( x + 2 k π ) cos ( x ) = cos ( x + 2 k π ) tan ( x ) = tan ( x + k π ) cot ( x ) = cot ( x + k π ) sec ( x ) = sec ( x + 2 k π ) csc ( x ) = csc ( x + 2 k π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=\sin(x+2k\pi )\\\cos(x)&=\cos(x+2k\pi )\\\tan(x)&=\tan(x+k\pi )\\\cot(x)&=\cot(x+k\pi )\\\sec(x)&=\sec(x+2k\pi )\\\csc(x)&=\csc(x+2k\pi )\\\end{aligned}}}
Symmetri sin ( − x ) = − sin ( x ) sin ( π 2 − x ) = cos ( x ) sin ( π − x ) = + sin ( x ) cos ( − x ) = + cos ( x ) cos ( π 2 − x ) = sin ( x ) cos ( π − x ) = − cos ( x ) tan ( − x ) = − tan ( x ) tan ( π 2 − x ) = cot ( x ) tan ( π − x ) = − tan ( x ) cot ( − x ) = − cot ( x ) cot ( π 2 − x ) = tan ( x ) cot ( π − x ) = − cot ( x ) sec ( − x ) = + sec ( x ) sec ( π 2 − x ) = csc ( x ) sec ( π − x ) = − sec ( x ) csc ( − x ) = − csc ( x ) csc ( π 2 − x ) = sec ( x ) csc ( π − x ) = + csc ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin(x)&\sin \left({\cfrac {\pi }{2}}-x\right)&=\cos(x)&\sin \left(\pi -x\right)&=+\sin(x)\\\cos(-x)&=+\cos(x)&\cos \left({\cfrac {\pi }{2}}-x\right)&=\sin(x)&\cos \left(\pi -x\right)&=-\cos(x)\\\tan(-x)&=-\tan(x)&\tan \left({\cfrac {\pi }{2}}-x\right)&=\cot(x)&\tan \left(\pi -x\right)&=-\tan(x)\\\cot(-x)&=-\cot(x)&\cot \left({\cfrac {\pi }{2}}-x\right)&=\tan(x)&\cot \left(\pi -x\right)&=-\cot(x)\\\sec(-x)&=+\sec(x)&\sec \left({\cfrac {\pi }{2}}-x\right)&=\csc(x)&\sec \left(\pi -x\right)&=-\sec(x)\\\csc(-x)&=-\csc(x)&\csc \left({\cfrac {\pi }{2}}-x\right)&=\sec(x)&\csc \left(\pi -x\right)&=+\csc(x)\\\end{aligned}}} En funktion f(x) kallas udda om f(-x) = -f(x) och kallas jämn om f(-x) = f(x). Till exempel är cosinusfunktionen jämn och sinus- och tangensfunktionerna är udda.
Förskjutningar sin ( x + π 2 ) = + cos ( x ) sin ( x + π ) = − sin ( x ) cos ( x + π 2 ) = − sin ( x ) cos ( x + π ) = − cos ( x ) tan ( x + π 2 ) = − cot ( x ) tan ( x + π ) = + tan ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+{\cfrac {\pi }{2}}\right)&=+\cos(x)&\sin \left(x+\pi \right)&=-\sin(x)\\\cos \left(x+{\cfrac {\pi }{2}}\right)&=-\sin(x)&\cos \left(x+\pi \right)&=-\cos(x)\\\tan \left(x+{\cfrac {\pi }{2}}\right)&=-\cot(x)&\tan \left(x+\pi \right)&=+\tan(x)\\\end{aligned}}}
Samband för en vinkel
Trigonometriska ettan sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1} sin ( x ) = ± 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \sin(x)=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}} cos ( x ) = ± 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \cos(x)=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}
Relaterade identiteter 1 + tan 2 θ = sec 2 θ {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta } 1 + cot 2 θ = csc 2 θ {\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }
Dubbla vinkeln sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) − sin 2 ( x ) = = 2 cos 2 ( x ) − 1 = = 1 − 2 sin 2 ( x ) tan ( 2 x ) = 2 tan ( x ) 1 − tan 2 ( x ) cot ( 2 x ) = cot ( x ) − tan ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2x)&=2\sin(x)\cos(x)\\\cos(2x)&=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=\\&=2\cos ^{2}(x)-1=\\&=1-2\sin ^{2}(x)\\\tan(2x)&={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}\\\cot(2x)&={\frac {\cot(x)-\tan(x)}{2}}\\\end{aligned}}}
Tredubbla vinkeln sin ( 3 x ) = 3 sin ( x ) − 4 sin 3 ( x ) cos ( 3 x ) = 4 cos 3 ( x ) − 3 cos ( x ) tan ( 3 x ) = 3 tan ( x ) − tan 3 ( x ) 1 − 3 tan 2 ( x ) cot ( 3 x ) = cot 3 ( x ) − 3 cot ( x ) 3 cot 2 ( x ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3x)&=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)\\\cos(3x)&=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\\\tan(3x)&={\frac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}\\\cot(3x)&={\frac {\cot ^{3}(x)-3\cot(x)}{3\cot ^{2}(x)-1}}\\\end{aligned}}}
Halva vinkeln sin 2 ( x 2 ) = 1 − cos ( x ) 2 cos 2 ( x 2 ) = 1 + cos ( x ) 2 tan ( x 2 ) = sin ( x ) 1 + cos ( x ) = = 1 − cos ( x ) sin ( x ) tan 2 ( x 2 ) = 1 − cos ( x ) 1 + cos ( x ) cot ( x 2 ) = sin ( x ) 1 − cos ( x ) = = 1 + cos ( x ) sin ( x ) cot 2 ( x 2 ) = 1 + cos ( x ) 1 − cos ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1-\cos(x)}{2}}\\\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1+\cos(x)}{2}}\\\tan \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}&=\\&={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}\\\tan ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}\\\cot \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sin(x)}{1-\cos(x)}}&=\\&={\frac {1+\cos(x)}{\sin(x)}}\\\cot ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1+\cos(x)}{1-\cos(x)}}\\\end{aligned}}}
Potenser sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}} cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} sin 2 θ cos 2 θ = 1 − cos 4 θ 8 {\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}} sin 3 θ = 3 sin θ − sin 3 θ 4 {\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}} cos 3 θ = 3 cos θ + cos 3 θ 4 {\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}} sin 3 θ cos 3 θ = 3 sin 2 θ − sin 6 θ 32 {\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}} sin 4 θ = 3 − 4 cos 2 θ + cos 4 θ 8 {\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}} cos 4 θ = 3 + 4 cos 2 θ + cos 4 θ 8 {\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}} sin 4 θ cos 4 θ = 3 − 4 cos 4 θ + cos 8 θ 128 {\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}} sin 5 θ = 10 sin θ − 5 sin 3 θ + sin 5 θ 16 {\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}} cos 5 θ = 10 cos θ + 5 cos 3 θ + cos 5 θ 16 {\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}} sin 5 θ cos 5 θ = 10 sin 2 θ − 5 sin 6 θ + sin 10 θ 512 {\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}}
Samband för två vinklar sin ( x ± y ) = sin ( x ) cos ( y ) ± cos ( x ) sin ( y ) cos ( x ± y ) = cos ( x ) cos ( y ) ∓ sin ( x ) sin ( y ) tan ( x ± y ) = tan ( x ) ± tan ( y ) 1 ∓ tan ( x ) tan ( y ) cot ( x ± y ) = cot ( x ) cot ( y ) ∓ 1 cot ( y ) ± cot ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x\pm y)&=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\\\cos(x\pm y)&=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\\\tan(x\pm y)&={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}\\\cot(x\pm y)&={\frac {\cot(x)\cot(y)\mp 1}{\cot(y)\pm \cot(x)}}\\\end{aligned}}} Observera att ± {\displaystyle \pm } och ∓ {\displaystyle \mp } är olika tecken. Till exempel är cos(x + y ) = cos(x )cos(y ) - sin(x )sin(y ) medan cos(x - y ) = cos(x )cos(y ) + sin(x )sin(y ).
sin ( x ) − sin ( y ) sin ( x ) + sin ( y ) = tan x − y 2 tan x + y 2 cos ( x ) − cos ( y ) cos ( x ) + cos ( y ) = − tan ( x + y 2 ) tan ( x − y 2 ) tan ( x ) − tan ( y ) tan ( x ) + tan ( y ) = sin ( x − y ) sin ( x + y ) cot ( x ) − cot ( y ) cot ( x ) + cot ( y ) = − sin ( x − y ) sin ( x + y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin(x)-\sin(y)}{\sin(x)+\sin(y)}}&={\cfrac {\tan {\cfrac {x-y}{2}}}{\tan {\cfrac {x+y}{2}}}}\\{\frac {\cos(x)-\cos(y)}{\cos(x)+\cos(y)}}&=-\tan \left({\cfrac {x+y}{2}}\right)\tan \left({\cfrac {x-y}{2}}\right)\\{\frac {\tan(x)-\tan(y)}{\tan(x)+\tan(y)}}&={\cfrac {\sin(x-y)}{\sin(x+y)}}\\{\frac {\cot(x)-\cot(y)}{\cot(x)+\cot(y)}}&=-{\cfrac {\sin(x-y)}{\sin(x+y)}}\\\end{aligned}}}
Summor sin ( x ) + sin ( y ) = 2 sin ( x + y 2 ) cos ( x − y 2 ) cos ( x ) + cos ( y ) = 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x − y 2 ) tan ( x ) + tan ( y ) = sin ( x + y ) cos ( x ) cos ( y ) cot ( x ) + cot ( y ) = sin ( x + y ) sin ( x ) sin ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)+\sin(y)&=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cos(x)+\cos(y)&=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\tan(x)+\tan(y)&={\frac {\sin(x+y)}{\cos(x)\cos(y)}}\\\cot(x)+\cot(y)&={\frac {\sin(x+y)}{\sin(x)\sin(y)}}\\\end{aligned}}}
Differenser sin ( x ) − sin ( y ) = 2 cos ( x + y 2 ) sin ( x − y 2 ) cos ( x ) − cos ( y ) = − 2 sin ( x + y 2 ) sin ( x − y 2 ) tan ( x ) − tan ( y ) = sin ( x − y ) cos ( x ) cos ( y ) cot ( x ) − cot ( y ) = − sin ( x − y ) sin ( x ) sin ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)-\sin(y)&=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cos(x)-\cos(y)&=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\tan(x)-\tan(y)&={\frac {\sin(x-y)}{\cos(x)\cos(y)}}\\\cot(x)-\cot(y)&=-{\frac {\sin(x-y)}{\sin(x)\sin(y)}}\\\end{aligned}}}
Produkter sin ( x ) sin ( y ) = cos ( x − y ) − cos ( x + y ) 2 sin ( x ) cos ( y ) = sin ( x − y ) + sin ( x + y ) 2 cos ( x ) cos ( y ) = cos ( x − y ) + cos ( x + y ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)&={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\\\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)&={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\\\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)&={\cos \left(x-y\right)+\cos \left(x+y\right) \over 2}\\\end{aligned}}}
Inversa funktioner
Samband för en vinkel sin ( arcsin ( x ) ) = x cos ( arccos ( x ) ) = x tan ( arctan ( x ) ) = x cot ( arccot ( x ) ) = x sec ( arcsec ( x ) ) = x csc ( arccsc ( x ) ) = x {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin(x))&=x&\quad \cos(\arccos(x))&=x\\\tan(\arctan(x))&=x&\quad \cot(\operatorname {arccot}(x))&=x\\\sec(\operatorname {arcsec}(x))&=x&\quad \csc(\operatorname {arccsc}(x))&=x\\\end{aligned}}} arcsin ( sin ( x ) ) = x , för − π / 2 ≤ x ≤ π / 2 arccos ( cos ( x ) ) = x , för 0 ≤ x ≤ π arctan ( tan ( x ) ) = x , för − π / 2 < x < π / 2 arccot ( cot ( x ) ) = x , för 0 < x < π arcsec ( sec ( x ) ) = x , för 0 ≤ x < π / 2 eller π / 2 < x ≤ π arccsc ( csc ( x ) ) = x , för − π / 2 ≤ x < 0 eller 0 < x ≤ π / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(x))&=x,{\mbox{ för }}-\pi /2\leq x\leq \pi /2\\\arccos(\cos(x))&=x,{\mbox{ för }}0\leq x\leq \pi \\\arctan(\tan(x))&=x,{\mbox{ för }}-\pi /2<x<\pi /2\\\operatorname {arccot}(\cot(x))&=x,{\mbox{ för }}0<x<\pi \\\operatorname {arcsec}(\sec(x))&=x,{\mbox{ för }}0\leq x<\pi /2{\mbox{ eller }}\pi /2<x\leq \pi \\\operatorname {arccsc}(\csc(x))&=x,{\mbox{ för }}-\pi /2\leq x<0{\mbox{ eller }}0<x\leq \pi /2\\\end{aligned}}}
Kompletterande arccos ( x ) = π 2 − arcsin ( x ) arccot ( x ) = π 2 − arctan ( x ) arccsc ( x ) = π 2 − arcsec ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\\\end{aligned}}}
Likheter för negativa argument arcsin ( − x ) = − arcsin ( x ) arccos ( − x ) = π − arccos ( x ) arctan ( − x ) = − arctan ( x ) arccot ( − x ) = π − arccot ( x ) arcsec ( − x ) = π − arcsec ( x ) arccsc ( − x ) = − arccsc ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\end{aligned}}}
Reciproka funktioner arccos 1 x = arcsec ( x ) arcsin 1 x = arccsc ( x ) arctan 1 x = π 2 − arctan ( x ) = arccot ( x ) , om x > 0 arctan 1 x = − π 2 − arctan ( x ) = − π + arccot ( x ) , om x < 0 arccot 1 x = π 2 − arccot ( x ) = arctan ( x ) , om x > 0 arccot 1 x = 3 π 2 − arccot ( x ) = π + arctan ( x ) , om x < 0 arcsec 1 x = arccos ( x ) arccsc 1 x = arcsin ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arcsec}(x)\\\arcsin {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arccsc}(x)\\\arctan {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x),{\text{ om }}x>0\\\arctan {\frac {1}{x}}&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=-\pi +\operatorname {arccot}(x),{\text{ om }}x<0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x),{\text{ om }}x>0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x),{\text{ om }}x<0\\\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}&=\arccos(x)\\\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}&=\arcsin(x)\\\end{aligned}}}
Samband för två vinklar arcsin α ± arcsin β = arcsin ( α 1 − β 2 ± β 1 − α 2 ) arccos α ± arccos β = arccos ( α β ∓ ( 1 − α 2 ) ( 1 − β 2 ) ) arctan α ± arctan β = arctan ( α ± β 1 ∓ α β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta &=\arcsin \left(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\right)\\\arccos \alpha \pm \arccos \beta &=\arccos \left(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}}\right)\\\arctan \alpha \pm \arctan \beta &=\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)\end{aligned}}}
Se även Trigonometri Trigonometrisk funktion Trigonometrisk tabell Trigonometriska ettan