Irreducibelt polynom

Ett irreducibelt polynom är inom matematiken ett icke-konstant polynom som inte kan skrivas som en produkt av två eller fler icke-konstanta polynom. Vilka polynom som är irreducibla beror på vilken polynomring ${\displaystyle F[x]}$ man studerar.

Irreducibla polynom kan jämföras med primtal inom talteorin. Precis som varje tal unikt kan faktoriseras som en produkt av primtal kan varje polynom i en polynomring ${\displaystyle F[x]}$ skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Faktorerna är unikt bestämda om man bortser från multiplikation med konstanter.

Följande fem polynom illustrerar egenskaperna hos reducibla och irreducibla polynom.

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}}$,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}}$,

${\displaystyle p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)}$,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}}$.

Över ringen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ av heltal är de två första reducibla och de två sista irreducibla. (Det mittersta är inte ett polynom över ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ över huvud taget.)

Över kroppen av rationella tal, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, är de tre första polynomen reducibla men de två sista irreducibla.

Över kroppen av reella tal, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, är alla utom ${\displaystyle p_{5}(x)}$ reducibla.

Över kroppen av komplexa tal, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, är slutligen alla polynom reducibla.

Även i den ändliga kroppen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ är ${\displaystyle p_{5}}$ reducibelt, då det gäller att: ${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1=(x+1)^{2}}$.

Över de komplexa talen är förstagradspolynomen de enda irreducibla polynomen. Över de reella talen finns det också vissa andragradspolynom som är irreducibla, som ${\displaystyle p_{5}(x)}$ i exemplet ovan, men inga av högre grad.

• Algebrans fundamentalsats
• Eisensteins kriterium
• Faktorsatsen