Huas identitet

Inom algebra är Huas identitet[1] en identitet som säger att för godtyckliga element a, b av en skevkropp gäller

a − ( a − 1 + ( b − 1 − a ) − 1 ) − 1 = a b a {\displaystyle a-(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1})^{-1}=aba}

bara a b ≠ 0 , 1 {\displaystyle ab\neq 0,1} . Genom att ersätta b {\displaystyle b} med − b − 1 {\displaystyle -b^{-1}} får man den ekvivalenta formen

( a + a b − 1 a ) − 1 + ( a + b ) − 1 = a − 1 . {\displaystyle (a+ab^{-1}a)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.}

En viktig användning av identiteten är i beviset av Huas sats.[2][3] Satsen säger att om σ : K → L {\displaystyle \sigma :K\to L} är en funktion mellan skevkroppar och om σ {\displaystyle \sigma } satisfierar

σ ( a + b ) = σ ( a ) + σ ( b ) , σ ( 1 ) = 1 , σ ( a − 1 ) = σ ( a ) − 1 , {\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}

är σ {\displaystyle \sigma } antingen en homomorfi eller en antihomomorfi.

Bevis

( a − a b a ) ( a − 1 + ( b − 1 − a ) − 1 ) = a b ( b − 1 − a ) ( a − 1 + ( b − 1 − a ) − 1 ) = 1. {\displaystyle (a-aba)(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1})=ab(b^{-1}-a)(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1})=1.}

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hua's identity, 4 februari 2014.
  1. ^ Cohn 2003, §9.1.
  2. ^ Cohn 2003, Theorem 9.1.3.
  3. ^ http://math.stackexchange.com/questions/161301/is-this-map-of-domains-a-jordan-homomorphism
  • Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6